Bước 1: Kiểm tra $a_{11}\neq 0\; \; ?$
1.1 Nếu $a_{11}=0\; \; và\; \; a_{i1}\neq 0$, ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng $i$.
1.2 Nếu $a_{11}\neq 1\; \; và\; \; a_{k1}=1$, ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng $k$ để cho bước 2 đơn giản.
1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành, chuyển sang bước 3.
Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới $a_{11}$ bằng phép biến đổi:
$$h_{i}\rightarrow h_{i}-\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}h_{1},\left ( i=2,3,...,m \right )$$
Khi đó, ma trận sẽ có dạng:$$\begin{pmatrix}a_{11}
&a_{12} &a_{13} & ... & a_{1n}\\
0& b_{22} & b_{23} & ... & _{b2n}\\
0& b_{32} & b_{33} & ... & b_{3n}\\
0& b_{42} & b_{43} & ... & b_{4n}\\
...& ... &... & ... & ...\\
0& b_{m2}& b_{m3}& ... &b_{mn}
\end{pmatrix}$$
Bước 3: Kiểm tra $b_{22}\neq 0\; \; ?$
1.1 Nếu $b_{22}=0\; \; và\; \; b_{j2}\neq 0\left ( j>2 \right )$, ta đổi chỗ vị trí hàng $2$ và hàng $j$.
1.2 Nếu $b_{22}\neq 1\; \; và\; \; b_{k2}=1$, ta đổi chỗ vị trí hàng $2$ và hàng $k$ để cho bước $4$ đơn giản.
1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột $2$ (từ $b_{22}$ trở xuống) bằng $0$ thì cột $2$ đã được chuẩn hóa, coi như bước $4$ đã hoàn thành.
Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột $2$ ở dưới $b_{22}$ bằng phép biến đổi:
$$h_{i}\rightarrow h_{i}-\dfrac{b_{i2}}{b_{22}}h_{2},\left ( i=3,4,...,m \right )$$
Ma trận đưa về dạng:$$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{13} & ... & a_{1n}\\
0& b_{22} & b_{23} &... &b_{2n} \\
0& 0 & c_{33}& ... & c_{3n}\\
0& 0& c_{43} & ... & c_{4n}\\
...& ...& ...& ...& ...\\
0& 0& c_{m3}& ... & c_{mn}
\end{pmatrix}$$
Tiếp tục quá trình trên cho phần tử $c_{33}$ , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma trận về dạng bậc thang dòng.
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:
$$\begin{pmatrix}
0 & 4& 1& 10&3 \\
4& 8& 7& 18& 35\\
10& 18& 17& 40& 83\\
1& 7& 3& 17& 9
\end{pmatrix}$$
Bước 1: Phần tử $a_{11}=0,\; a_{i1}\neq 0,\left ( i=2,3,4 \right )$, Tuy nhiên $a_{41}=1$ nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 & 7& 3& 17& 9\\
4& 8& 7& 18& 35\\
10& 18& 17& 40 & 83\\
0& 4& 1& 10 & 3
\end{pmatrix}$$
Bước 2: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_{2}\rightarrow h_{2}-4h_{1},h_{3}\rightarrow h_{3}-10h_{1}$. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &7 &3 &17 &9 \\
0& -20& -5& -50& -1\\
0&-52 &-13 &-130 &-7 \\
0& 4& 1& 10&3
\end{pmatrix}$$
Bước 3: Xét giá trị ở dòng $2$, cột $2$. Ta thấy $a_{22}=-20$ là $1$ số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.
Nhận thấy: $20$ và $52$ đều cho hết cho $4$ nên ta đổi chỗ dòng $2$ và dòng $4$. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &7 &3 &17 &9 \\
0& 4& 1& 10& 3\\
0&-52 &-13 &-130 &-7 \\
0& -20& -5& -50& -1
\end{pmatrix}$$
Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: $h_{3}\rightarrow h_{3}+13h_{2},\; h_{4}\rightarrow h_{4}+5h_{2}$ . Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &7 &3 &17 &9 \\
0& 4& 1& 10& 3\\
0&0 &0 &0 &32 \\
0& 0& 0& 0& 14
\end{pmatrix}$$
Tiếp theo, ta chia dòng $3$ cho $32$ và chia dòng $4$ cho $14$. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &7 &3 &17 &9 \\
0& 4& 1& 10& 3\\
0&0 &0 &0 &1 \\
0& 0& 0& 0& 1
\end{pmatrix}$$
Bước 5: Xét giá trị ở dòng $3$, cột $3$.
Nhận thấy các phần tử ${a_{33}} = 0,\,\,{a_{43}} = 0$ nên cột $3$ đã được chuẩn hóa.
Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột $4$ bằng cách xét phần tử $a_{34}$
Do $a_{34}=0\; \; và\; \; a_{44}=0$ nên ta cột $4$ đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột $5$.
Lấy dòng $4$ trừ dòng $3$. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &7 &3 &17 &9 \\
0& 4& 1& 10& 3\\
0&0 &0 &0 &1 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}$$
Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc thang.
Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi trên cột như sau:
Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi:
$$c_{2}\rightarrow c_{2}-7c_{1},\; c_{3}\rightarrow c_{3}-3c_{1},\; c_{4}\rightarrow c_{4}-17c_{1},\; c_{5}\rightarrow c_{5}-9c_{1}$$
Ta có:$$\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0 \\
0& 4& 1& 10& 3\\
0&0 &0 &0 &1 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}$$
Bước 7: Đổi chỗ cột $2$ và cột $3$. Ta có:$$\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0 \\
0& 1& 4& 10& 3\\
0&0 &0 &0 &1 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}$$
Bằng cách thực hiện phép biến đổi: $c_{3}\rightarrow c_{3}-4c_{2},\; c_{4}\rightarrow c_{4}-10c_{2},\; c_{5}\rightarrow c_{5}-3c_{2}$. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0 \\
0& 1& 0& 0& 0\\
0&0 &0 &0 &1 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}$$
Bước 8: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột $3$ và cột $5$. Mục đích để cột không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:
$$\begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0 \\
0& 1& 0& 0& 0\\
0&0 &1 &0 &0 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}$$
Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc: \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0 &0 \\
0& 1& 0& 0& 0\\
0&0 &1 &0 &0 \\
0& 0& 0& 0&0
\end{pmatrix}
