Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 3-2011

Môn: Đại số

Thời gian làm bài: 180 phút

______________________

Câu I: (2,0 điểm). Với mỗi $k\in \mathbb{N}^{*}$, kí hiệu $P_{k}\left ( x \right )$ là $\mathbb{R}-$ không gian vectơ các đa thức một ẩn $x$, với hệ số thực, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng $k$. Gọi cơ sở $\left \{ 1,x,x^{2},...,x^{k} \right \}$ của $P_{k}\left ( x \right )$ là cơ sở chính tắc của nó.

Với $n\geq 2$, cho $F:P_{n}\left ( x \right )\rightarrow P_{n-1}\left ( x \right )$ xác định bởi $F\left ( h\left ( x \right ) \right )={h}'\left ( x \right )\; \forall h\left ( x \right )\in P_{n}\left ( x \right )$, trong đó ${h}'\left ( x \right )$ là đạo hàm của đa thức $h\left ( x \right )$.

1) Chứng minh rằng $F$ là ánh xạ tuyến tính.

2) Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính $F$ trong cặp cơ sở chính tắc của $P_{n}\left ( x \right )$ và $P_{n-1}\left ( x \right )$. Tính $dim\left ( ImF \right )$.

Câu II: (3,0 điểm). Cho ma trận $A=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
0& 1&0 \\
1&0 &0
\end{pmatrix}$
1) Tìm vectơ riêng, giá trị riêng của $A$.

2) Ma trận $A$ có chéo hóa được không? Vì sao?

Nếu $A$ chéo hóa được, tìm mă trận không suy biến $T$ sao cho $T^{-1}AT$ là ma trận đường chéo.

3) Tìm $A^{n},n\in \mathbb{N}^{*}$

Câu III: (2,0 điểm).

1) Chứng minh rằng mọi trường đều là vành Euclide.

2) Cho $K$ là trường, chứng tỏ rằng vành đa thức $K\left [ x \right ]$ là vành Euclide. Nếu $K$ không là trường, mà vẫn là miền nguyên, thì điều đó còn đúng không?

Câu IV: (3,0 điểm). Cho $\left ( X,. \right )$ là một nhóm. Với mỗi $a\in X$ cho ánh xạ:

$f_{a}:X\rightarrow X$ xác định bởi $f_{a}\left ( x \right )=a^{-1}xa,\forall x\in \mathbb{R}$

Chứng minh rằng:

1) $f_{a}$ là một tự đẳng cấu của nhóm $X$.

2) Tập $\left \{ f_{a}|a\in X \right \}$ lập thành nhóm con của nhóm các tự đẳng cấu $Aut\left ( X \right )$ của nhóm $X$.

3) Nhóm thương $X/C\left ( X \right )$ đẳng cấu với nhóm con $\left \{ f_{a}|a\in X \right \}$, trong đó $C\left ( X \right )=\left \{ a\in X:a.x=x.a ,\forall x\in X\right \}$ là nhóm con chuẩn tắc của $\left ( X,. \right )$.

__________________________________

[Crystal]

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 2011

Môn: Giải tích

Thời gian làm bài: 180 phút

______________________

Câu I: (2,0 điểm).

1) Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng $\int\limits_1^\infty {\dfrac{{2010 + \cos x}}{{{x^\alpha }\sqrt {x + 1} }}dx,\,\,\,\left( {\alpha > 0} \right)} $.

2) Chứng minh rằng nếu chuỗi lũy thừa $\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}} {x^n}$ hội tụ tại một điểm $x = \alpha \,\,\left( {\alpha \ne 0} \right)$ thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm ${x_0}$ thỏa mãn $\left| {{x_0}} \right| < \left| \alpha \right|$.

3) Xác định cận lấy tích phân khi tính tích phân bội $\int {\int\limits_\Omega {\int {f\left( {x,y,z} \right)} } } dxdydz$ trong đó $\Omega $ là miên giới hạn bởi các mặt $x + 3y + 4z = 12,\,\, = 0,\,y = 0,\,z = 0$ với thứ tự cho hai trường hợp sau: $\int dx\int dy\int f\left ( x,y,z \right )dz\; \; và\; \; \int dz\int dx\int f\left ( x,y,z \right )dy$.

Câu II: (3,0 điểm)

Cho $\mathbb{Q}$ là tập các số hữu tỉ. Xét sự khả tích Riemann và khả tích Lebesgue của hàm số sau trên đoạn $\left [ 0;e \right ]$ và tính các tích phân tương ứng (nếu có):

$$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix}
x+1,\; \; khi\; \; x\in A=\mathbb{Q}\cap \left [ 0;e \right ] & \\
xlnx,\; \; khi\; \; x\in B=\left [ 0;e \right ]\A&
\end{matrix}\right.$$

Câu III: (3,0 điểm)

Cho $C\left [ a;b \right ]$ là không gian các hàm liên tục trên đoạn $\left [ a;b \right ]$ với chuẩn

$$\left | \left | x \right | \right |=\underset{t\in \left [ a;b \right ]}{max}\left | x\left ( t \right ) \right |,\; x\in C\left [ a;b \right ]$$

Với $\alpha \left ( t \right )\in C\left [ a;b \right ]$, toán tử $A$ xác định trên $C\left [ a;b \right ]$ bởi công thức

$$Ax\left ( s \right )=\int_{a}^{b}\alpha \left ( s \right )x\left ( t \right )dt,\; x\left ( t \right )\in C\left [ a;b \right ],\; a\leq s\leq b$$

Chứng minh rằng $A$ là toán tử tuyến tính liên tục. Tìm chuẩn của $A$.

__________________________________

[phuongtrinh2988]

các bác cho thêm đáp án với nha