Chủ đề này có 3 trả lời

[hola0905]

Giải pt nghiệm nguyên
$$x^{4}-2y^{4}-x^{2}y^{2}-4x^{2}-7y^{2}-5=0$$

Mod. Gõ TV có dấu, tiêu đề đi kèm với công thức toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 14-11-2011 - 18:21

[Devil25]

Đặt $x^2$=a,$y^2$=b như vậy a,b chính phương và a>b(vì rõ ràng $x^4$>$y^4$)
Ta nhóm vào thành nhân tử và được: (a+b)(a-2b-4)-3b-5=0. Vậy có (a+b)(a-2b-4)=3b+5.
Xét vế phải dễ thấy vế phải luôn $\geq$ 5(do b $\geq$ 0)
Xét vế trái có a+b $\geq$ 0. Như vậy có a-2b-4 > 0, mà a,b nguyên dương nên sẽ có a-2b-4 $\geq$ 1
Giờ ta sẽ xét khi b $\geq$ 9. Khi ấy vế phải sẽ < 4b, a+b>2b. Vậy xét a-2b-4 >1 có a-2b-4 $\geq$ 2, có ngay vt>4b, vp <4b loại. Do đó a-2b-4=1 tức là a=2b+5. Thay $x^2$=2$y^2$+5 thì thấy được nó đúng với mọi x,y thỏa mãn $x^2$=2$y^2$+5. Tuy nhiên theo em hình như cái này không có nghiệm.
Còn lại là xét b < 9 vậy b=0,1,4 hay $y^2$ =0,1,4. Thay vào phương trình ta sẽ có nghiệm vô tỉ, tức là vô nghiệm tự nhiên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Devil25: 14-11-2011 - 19:30

[hxthanh]

Phương trình:

$x^4-2y^4-x^2y^2-4x^2-7y^2-5=0$ tương đương với:
$\Leftrightarrow (x^2-2y^2-5)(x^2+y^2+1)=0$
$\Leftrightarrow x^2-2y^2-5=0$
Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
(CM:$x$ lẻ $x=2k+1$ thay vào ta được $y^2=2(k^2+k-1)$ Rõ ràng $k^2+k-1$ là số lẻ!)

[Devil25]

Thanks thấy hxthanh nhé, thầy đã cho bọn em một cách giải rất nhanh và hay. Em còn yếu về đoạn phân tích thành nhân tử nên cách dài quá.