Chủ đề này có 6 trả lời

[Mai Duc Khai]

Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn ${2.10^8}$, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0,1,2?

[PSW]

bài này phải biết hàm sinh mới giải dc

[hxthanh]

Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn ${2.10^8}$, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0,1,2?

Đây là một bài toán không mới, đã được thảo luận đâu đó trên diễn đàn, mình chưa tìm được link.
Bạn có thể tham khảo lời giải dưới đây:

Gọi một "số" thoả mãn yêu cầu là $\overline{a_1a_2...a_9}$ trong đó không nhất thiết các số đứng đầu phải khác 0. Ta có thể coi các số như vậy là các số tự nhiên có số chữ số nhỏ hơn.
Chẳng hạn số $000000012$ là số $12$
Như vậy:

- $a_1$ có 2 cách chọn (là 0 và 1)
- $a_2,a_3,...,a_8$ mỗi vị trí có 3 cách chọn (0,1,2)
- $a_9$ có 1 cách chọn duy nhất phụ thuộc vào tổng $a_1+a_2+...+a_8$ chia 3 dư bao nhiêu? (Dư 0 chọn số 0, dư 1 chọn số 2, dư 2 chọn số 1)

Vậy tổng cộng có $2.3^7=4374$ số thoả mãn yêu cầu

[Mai Duc Khai]

Đây là một bài toán không mới, đã được thảo luận đâu đó trên diễn đàn, mình chưa tìm được link.
Bạn có thể tham khảo lời giải dưới đây:

Gọi một "số" thoả mãn yêu cầu là $\overline{a_1a_2...a_9}$ trong đó không nhất thiết các số đứng đầu phải khác 0. Ta có thể coi các số như vậy là các số tự nhiên có số chữ số nhỏ hơn.
Chẳng hạn số $000000012$ là số $12$
Như vậy:

- $a_1$ có 2 cách chọn (là 0 và 1)
- $a_2,a_3,...,a_8$ mỗi vị trí có 3 cách chọn (0,1,2)
- $a_9$ có 1 cách chọn duy nhất phụ thuộc vào tổng $a_1+a_2+...+a_8$ chia 3 dư bao nhiêu? (Dư 0 chọn số 0, dư 1 chọn số 2, dư 2 chọn số 1)

Vậy tổng cộng có $2.3^7=4374$ số thoả mãn yêu cầu

Thầy ơi nếu em ko nhầm thì phải trừ 1 rồi = 4373 chứ????

[hxthanh]

Không cần phải trừ đi 1 đâu em (vì số 0 cũng là số tự nhiên mà!)

[SilentAssassin1998]

Bạn clicklogin, số 0 là số tự nhiên mà...Vì thế lúc đó a9 = 0

[Nobodyv3]

bài này phải biết hàm sinh mới giải dc

Giải bằng cách dùng hàm sinh nhé.
Hàm sinh cho chữ số $a_1$ là $(1+x)$
Hàm sinh cho mỗi 8 chữ số còn lại  $a_2,...,a_9$ là $(1+x+x^2)$
Vậy ta có hàm sinh:
$f(x)=(1+x)(1+x+x^2)^8$
Gọi $\omega =e^{2\pi i/3}$ là 1 nghiệm của pt $x^3=1$ thì $1+\omega +\omega ^2=0$ và số các số thỏa yêu cầu là :
$N=\frac {f(1)+f(\omega) +f(\omega ^2)  }{3}$
Với $f(1)=2.3^8, f(\omega )=f(\omega ^2)=0$ suy ra :
$N=\frac {2.3^8}{3}=2.3^7=\boldsymbol {4374}$