Chủ đề này có 4 trả lời

[minhduc331ns]

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$\large \left ( x+y\sqrt{2011} \right )^{4}+\left ( z+t\sqrt{2011} \right )^{4}=10000 + 300\sqrt{2011}$

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $\large x^{2}+\left ( x+y \right )^{2}=\left ( x+9 \right )^{2}$

Bài 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên và có hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi

[DBSK]

Bài 1:
Vô nghiệm
Bài 2:
Nhân tung ra rồi xét!

[hxthanh]

Bài 3: Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên và có hai lần số đo diện tích bằng ba lần số đo chu vi

Bài này có vẻ hấp dẫn!

Gọi 2 cạch góc vuông là $a$ và $b$ cạnh huyền là $c;\;\;(a,b,c>0)$. Theo dữ kiện đầu bài ta có:
$\begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ ab=3(a+b+c)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2+b^2=c^2 \\ c=\frac{ab}{3}-(a+b)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ab=3(a+b+c) \\ a^2+b^2=\frac{a^2b^2}{9}-\frac{2ab(a+b)}{3}+(a+b)^2\end{cases}$

$\Rightarrow \frac{a^2b^2}{9}-\frac{2ab(a+b)}{3}+2ab=0$

$\Rightarrow ab-6(a+b)+18=0$
$\Rightarrow a=6+\frac{18}{b-6}\;\;(*)$

Nếu $b-6<0$ suy ra $6a+6b=ab+18<6a+18 \Rightarrow b<3$
Thử trực tiếp $b=1;\;b=2$ vào $(*)$ không thoả mãn
Như vậy $b-6>0$ là các ước dương của $18\;\;\{1,2,3,6,9,18\}$
Suy ra $b \in \{7,8,9,12,15,24\}$
Từ đó ta tìm được các tam giác vuông có các cạnh là $(a,b,c)\in \{(7,24,25);\;(8,15,17);\;(9,12,15)\}$
(không tính thêm 3 tam giác hoán vị giữa a và b)

[hxthanh]

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $\large x^{2}+\left ( x+y \right )^{2}=\left ( x+9 \right )^{2}\;\;(1)$

Viết lại phương trình (1) thành:
$(x+y)^2=9(2x+9)\Rightarrow 2x+9=k^2;\;k\in\mathbb{Z} \Rightarrow k=2t+1;\;t\in\mathbb{Z}$
$\Rightarrow \begin{cases}x=2t^2+2t-4>0\\y=-2t^2+4t+7>0\end{cases}\Rightarrow t \in \{2,3\}$
$\Rightarrow (x,y)\in\{(8,7);\;(20,1)\}$
____________
(Thử lại ta có: $8^2+15^2=17^2;\;\;20^2+21^2=29^2$)

[Cao Xuân Huy]

Đóng góp bài nữa.
Bài 4: Biết các cạnh của một tam giác vuông là các số tự nhiên có 2 chữ số mà số đo cạnh huyền bằng số đo của một cạnh góc vuông viết ngược lại. Tìm các tam giác vuông đó.