Cho hàm f liên tục trên [a,b] (a>0), khả vi trên (a,b). CMR tồn tại x1,x2,x3 thuộc (a,b) sao cho
$f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {a + b} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_2}} \right)}}{{4{x_2}}} + \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_3}} \right)}}{{6{x_3}}}$
Áp dụng định lí Lagrange cho hàm $f$ trên $\left[ {a,b} \right]$ ta có ${x_1} \in \left( {a,b} \right)$ sao cho:
$$f'\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}}$$
Áp dụng định lí Cauchy cho hàm $f$ và hàm $x \mapsto {x^2}$ ta có ${x_2} \in \left( {a,b} \right)$ sao cho:
$$\dfrac{{f'\left( {{x_2}} \right)}}{{2{x_2}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {a + b} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_2}} \right)}}{{2{x_2}}}$$
Áp dụng định lí Cauchy cho hàm $f$ và hàm $x \mapsto {x^3}$ ta có ${x_3} \in \left( {a,b} \right)$ sao cho:
$$\dfrac{{f'\left( {{x_3}} \right)}}{{3x_3^2}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{{b^3} - {a^3}}} \Rightarrow f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_3}} \right)}}{{3x_3^2}}$$
Từ cÁc kết quả trên ta có ${x_1},{x_2},{x_3} \in \left( {a,b} \right)$ sao cho
$$f'\left( {{x_1}} \right) = \left( {a + b} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_2}} \right)}}{{4{x_2}}} + \left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\dfrac{{f'\left( {{x_3}} \right)}}{{6{x_3}}}$$
