mình đọc cuốn sáng tạo BĐT của Phạm KIm Hùng có 1 toán như sau:
cho các số a1,a2,......an $\in [p,q]$ .$p,q\geq 0$...
chứng minh;
$$(a_{1} + a_{2}+a_{3} +.... a_n)(\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+....+\dfrac{1}{ a_n})\leqslant n^{2}+k_n\dfrac{(p-q)^{2}}{4pq}$$
trong đó $k_n=n^{2}-1$ nếu n lẻ
và $k_n=n^{2}$ nếu n chẵn
Bài toán này còn được phát biểu dưới dạng:
Cho $0 < p < q$ và $n$ số thực ${x_i} \in \left[ {p,q} \right],i = \overline {1,n} $. Chứng minh rằng:
$$\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{{x_i}}}} } \right) \le {n^2} + \left[ {\dfrac{{{n^2}}}{4}} \right]\dfrac{{{{\left( {p - q} \right)}^2}}}{{pq}}$$
Đây là lời giải:Giả sử trong $n$ số ${x_i}$ có $k$ số $p$ và $n-k$ số $q$. Khi đó:
$$VT = \left( {kp + \left( {n - k} \right)q} \right)\left( {\dfrac{k}{p} + \dfrac{{n - k}}{q}} \right) = {k^2} + {\left( {n - k} \right)^2} + k\left( {n - k} \right)\left( {\dfrac{p}{q} + \dfrac{q}{p}} \right)$$
$$ = {n^2} + k\left( {n - k} \right)\dfrac{{{{\left( {p - q} \right)}^2}}}{{pq}} = {n^2} + \dfrac{1}{4}\left( {{n^2} - {{\left( {n - 2k} \right)}^2}} \right)\dfrac{{{{\left( {p - q} \right)}^2}}}{{pq}}$$
Vì $k$ nguyên nên ${n^2} - {\left( {n - 2k} \right)^2} \le {n^2}$ khi $n$ chẵn và ${n^2} - {\left( {n - 2k} \right)^2} \le {n^2} - 1$ khi $n$ lẻ.
Từ đó ta thu được BĐT ban đầu:$$\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\nolimits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{{x_i}}}} } \right) \le {n^2} + \left[ {\dfrac{{{n^2}}}{4}} \right]\dfrac{{{{\left( {p - q} \right)}^2}}}{{pq}}$$
