cho x,y,z>0 và x+y+z=1 $\dfrac{x(y+z)}{4-9yz}+\dfrac{y(x+z)}{4-9xz}+\dfrac{z(x+y)}{4-9xy}\geq 6xyz$
$\dfrac{x(y+z)}{4-9yz}+\dfrac{y(x+z)}{4-9xz}+\dfrac{z(x+y)}{4-9xy}\geq 6xyz$
Bắt đầu bởi taubietrui, 01-12-2011 - 21:51
#2
Đã gửi 03-12-2011 - 20:00
dark templar
-
- Hiệp sỹ
-
- 3788 Bài viết
Kael-Invoker
BĐT tương đương với:cho x,y,z>0 và x+y+z=1 $\dfrac{x(y+z)}{4-9yz}+\dfrac{y(x+z)}{4-9xz}+\dfrac{z(x+y)}{4-9xy}\geq 6xyz$
$$\dfrac{y+z}{yz(4-9yz)}+\dfrac{z+x}{zx(4-9zx)}+\dfrac{x+y}{xy(4-9xy)} \ge 6$$
Theo BĐT AM-GM,ta có:
$$VT \ge \sum\left[\dfrac{2\sqrt{yz}}{yz(4-9yz)} \right]=6\sum\left[\dfrac{1}{3\sqrt{yz}(2-3\sqrt{yz})(2+3\sqrt{yz})} \right] \ge 6\sum\left[\dfrac{1}{\left(\dfrac{3\sqrt{yz}+2-3\sqrt{yz}}{2} \right)^2(2+3\sqrt{yz})} \right]=6\sum\left(\dfrac{1}{2+3\sqrt{yz}} \right)$$
Lại theo BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$6\sum\left(\dfrac{1}{2+3\sqrt{yz}} \right) \ge \dfrac{54}{6+3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})} \overset{AM-GM}{\ge}\dfrac{54}{6+3(x+y+z)}=6=VP$$
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 03-12-2011 - 20:03
- phuonganh_lms và HÀ QUỐC ĐẠT thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
