1 reply to this topic

[quocdu89]

Cho $a\geq 1$, $b\geq 1$, $c\geq 1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

[vietfrog]

Trước tiên sử dụng Bất đẳng thức phụ sau: \[\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}\]
Bất đẳng thức phụ này đã được chứng minh ở Topic Bất đẳng thức phụ. Bạn xem qua ở đây
Ta có ngay:
$$\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }},\frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }}$$
Đồng thời:\[\frac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \frac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\]
Suy ra: \[\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} + \frac{1}{{1 + abc}} \ge \frac{4}{{1 + abc}}\]
Từ đó có được đpcm.

Edited by vietfrog, 02-12-2011 - 22:36.