Chủ đề này có 6 trả lời

[vietfrog]

ĐỀ THI THỬ LẦN 1 CỦA ĐHKHTN
-Ngày thi 27-11-2011

Câu I. Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1} \ (C )$
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $(C )$
2. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(C )$ tiếp xúc với đường thẳng $y=mx+5$

Câu II.
1. Giải phương trình: $cos(\dfrac{\pi}{3}+3x)+cos(\dfrac{2\pi}{3}-4x)+cosx=1$

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: $y=(3sinx+4cosx)^4(3sinx+4cosx+1)^5$

Câu III.
1. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực: $9+2\sqrt{4-x^2}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x})$
2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển $(2x+1)^n$ biết tổng các hệ số của nó bằng $59049$

Câu IV.
1. Cho hình chóp tam giác đều $SABC$ có cạnh bên bằng $a$, góc tạo bởi mặt bên và đáy bằng $45^0$. Tính thể tích của khối chóp.

2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình vuông $ABCD$ có đỉnh $A(1;2;1)$ và đường chéo $BD:\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.

3. Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho đường tròn: $(T) : x^2 +y^2-2x+2y-23=0$. Viết phương trình đường thẳng qua $A(7;3)$ cắt đường tròn $(T)$ tại $B,C$ sao cho $AB-3AC=0$

Câu V. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $ab+bc+ca=3abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\dfrac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\dfrac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\dfrac{c^2}{b(c^2+b^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05-12-2011 - 12:21

[hoangtrong2305]

Câu III.
1. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm thực: $9+2\sqrt{4-x^2}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x})$

$9+2\sqrt{4-x^2}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x})$

ĐK: $\left\{\begin{matrix}
x\leq -2\\
x\geq 2
\end{matrix}\right.$

pt<=> $9+2\sqrt{(2-x)(2+x)}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x})$

Bình phương 2 vế:

$81+36\sqrt{(2-x)(2+x)}+4(2-x)(2+x)=m^{2}(4+2\sqrt{(2-x)(2+x)})$

Đặt $t=\sqrt{(2-x)(2+x)}$, phương trình thành:

$81+36t+4t^{2}=m^{2}(4+2t)$

<=> $4t^{2}+2t(18-m^{2})+81-4m^{2}=0$

$\Delta =m^{4}-20m^{2}$

Để pt có nghiệm <=> $m^{4}-20m^{2}\geq 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}
m\leq -\sqrt{20}\\
m\geq \sqrt{20}
\end{matrix}\right.$

Câu III.
2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển $(2x+1)^n$ biết tổng các hệ số của nó bằng $59049$

$(2x+1)^n$ viết thành $(1+2x)^n$

Công thức tổng quát: $$\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}2^{k}x^{k}$$ (*)

Theo giả thiết tổng các hệ số của nó bằng $59049$

=> $C_{n}^{0}2^{0}+C_{n}^{1}2^{1}+C_{n}^{2}2^{2}+...+C_{n}^{n}2^{n}=59049$

dựa vào công thức tổng quát của nhị thức Newton => $3^{n}=59049$ => $n=10$

Thay vào (*) => $C_{10}^{k}2^{k}x^{k}$

=> Hệ số lớn nhất xảy ra <=> $k=5$

<=> $C_{10}^{5}2^{5}x^{5}$

<=> $8064x^{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 05-12-2011 - 10:25

[hoangtrong2305]

Câu II.
1. Giải phương trình: $cos(\dfrac{\pi}{3}+3x)+cos(\dfrac{2\pi}{3}-4x)+cosx=1$

$cos(\dfrac{\pi}{3}+3x)+cos(\dfrac{2\pi}{3}-4x)+cosx=1$

<=>$cos(\dfrac{\pi}{3}+3x)+cosx+cos[2(\dfrac{\pi}{3}-2x)]=1$

<=>$cos(\dfrac{\pi}{6}+2x)cos(\frac{\pi}{6}+x)-sin^{2}(\frac{\pi }{3}-2x)=0$

<=> $sin(\dfrac{\pi}{3}-2x)cos(\frac{\pi}{6}+x)-2sin^{2}(\frac{\pi }{3}-2x)=0$

<=> $sin(\frac{\pi}{3}-2x)[sin(\frac{\pi}{3}+x)-sin(\frac{\pi}{3}-2x)]=0$

<=>..................................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 05-12-2011 - 11:09

[vietfrog]

Xem lại câu III.2 nhé. Hệ số lớn nhất xảy ra khi $k=3$.
Câu III.1 có thể đặt ngay từ đầu: $\sqrt {2 - x} + \sqrt {x + 2} = t \in \left[ {2,2\sqrt 2 } \right]$
Mình post đề lên mà có mỗi 1 người giải. Hic.
Câu V:
\[\sum {\frac{a}{{c\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}} = \sum {\left( {\frac{1}{c} - \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}}} \right)} \ge \sum {\left( {\frac{1}{c} - \frac{1}{{2a}}} \right)} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) = \frac{1}{2}\frac{{ab + ac + bc}}{{abc}} = \frac{3}{2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 07-12-2011 - 17:59

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Hình như anh Việt nhầm chỗ này

$\[\sum {\frac{1}{{c\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}} = \sum {\left( {\frac{1}{c} - \frac{c}{{{c^2} + {a^2}}}} \right)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 07-12-2011 - 12:36

[vietfrog]

Hình như anh Việt nhầm chỗ này

Hi. Anh gõ nhầm cái đề ban đầu đấy. Anh đã edit lại rồi. Thanks Đạt nhé.

[hung0503]

Tìm GTLN, GTNN của hàm số: $y=(3sinx+4cosx)^4(3sinx+4cosx+1)^5$

Mình làm cách này mà thấy số kỳ quá, không biết có sai gì không?
Đặt $$t=3sinx+4cosx$$
$$\rightarrow -5\leq t\leq 5$$
$$f(t)=t^4(t+1)^5$$
$$f'(t)=4t^{3}(t+1)^{5}+5(t+1)^4t^4=0$$
$$\leftrightarrow t=0;-1;\dfrac{-1}{2}$$
Sau đó lập bảng biến thiên nhưng tại $t=\pm 5, f(t) $ rất lớn

Cho hình chóp tam giác đều $SABC$ có cạnh bên bằng $a$, góc tạo bởi mặt bên và đáy bằng $45^0$. Tính thể tích của khối chóp.

Đặt $AB=x$, tính $AH,OH,AO,SO$ theo x
$SA=\sqrt{SO^{2}+OA^2}$
$\rightarrow a=\sqrt{\dfrac{5x^2}{12}}$
$\rightarrow x=\dfrac{2a\sqrt{15}}{5}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình vuông $ABCD$ có đỉnh $A(1;2;1)$ và đường chéo $BD:\dfrac{x-3}{4}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{1}$. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.

$I=AC\bigcap BD\rightarrow I(3+4t;-t;t)$
$\overrightarrow{AI}$ vuông $\overrightarrow{a_{BD}}$
$\rightarrow t=\dfrac{-1}{2}$
suy ra tọa độ C.
mà $$BI=AI$$, giải ra tọa độ B,D.

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho đường tròn: $(T) : x^2 +y^2-2x+2y-23=0$. Viết phương trình đường thẳng qua $A(7;3)$ cắt đường tròn $(T)$ tại $B,C$ sao cho $AB-3AC=0$

tâm $ I(1;-1) $
$ IC^2=\dfrac{2IH^2+2IA^2-AH^2}{4} $
$\rightarrow IH^2-2HC^2=-2$
và $ IH^2+HC^2=25 $
suy ra $ IH=4, HC=3 $
$ \overrightarrow{AI}$ vuông $\overrightarrow{IH}$
$IH=4$ suy ra tọa đô H suy ra phương trình $(AH)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 08-12-2011 - 12:54