Chủ đề này có 2 trả lời

[cool hunter]

Cho $ax^4 =by^4=cz^4 ;\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$
C/m: $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c$

MoD: Mong bạn gõ latex

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-12-2011 - 00:00

[ChuDong2008]

Cho $ax^4 =by^4=cz^4 ;\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$
C/m: $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c$

MoD: Mong bạn gõ latex

Từ $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$ suy ra $ x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=x^2y^2z^2$
Đặt $K = ax^4 =by^4=cz^4$
Suy ra: $\frac{K}{x^2y^2z^2}=\frac{ax^2}{y^2z^2}=\frac{by^2}{x^2z^2}=\frac{cz^2}{y^2x^2}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{y^2x^2+y^2z^2+z^2x^2}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{x^2y^2z^2};$
Suy ra $\sqrt{K}=\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}$
Mặt khác:
$\sqrt{K}=x^2\sqrt{a}=y^2\sqrt{b}=z^2\sqrt{c}$
Nên $\frac{\sqrt{K}}{x^2y^2z^2}=\frac{\sqrt{a}}{y^2z^2}=\frac{\sqrt{b}}{x^2z^2}=\frac{\sqrt{c}}{x^2y^2}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{y^2z^2+x^2z^2+x^2y^2}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{x^2y^2z^2};$
Do đó: $\sqrt{K}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c};$
Từ đó suy ra ĐPCM.

[cool hunter]

Cho $ax^4 =by^4=cz^4 ;\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=1$
C/m: $\sqrt{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c$

MoD: Mong bạn gõ latex

ta có: \[ ax^4 =by^4 =cz^4 \Rightarrow ax^2 =\dfrac{by^4}{x^2}; cz^2=\dfrac{by^4}{z^2}\]
thay vào :
\[ \sqrt{ax^2 +by^2 +cz^2} = \sqrt{\dfrac{by^4}{x^2} +by^2 +\dfrac{by^4}{z^2}} \]
\[ = \sqrt{by^4(\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{y^2} +\dfrac{1}{z^2})} = y^2\sqrt{b} (1)\]

mat khac:
\[ a=\dfrac{by^4}{x^4} \Rightarrow \sqrt{a} = \sqrt{b.\dfrac{y^2}{x^2}}\]
Tương tự \[ \sqrt{c} = \sqrt{b.\dfrac{y^2}{z^2}} \]
\[ \Rightarrow \sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = \sqrt{b.\dfrac{y^2}{x^2}}+ \sqrt{b} + \sqrt{b.\dfrac{y^2}{z^2}}\]
\[ = \sqrt{y^2.b(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} +\dfrac{1}{z^2})} = y^2\sqrt b (2)\]

\[ (1),(2) \Rightarrow \sqrt{ax^2 +by^2 +cz^2} = \sqrt a +\sqrt b +\sqrt c \]
*có vẻ cách này đơn giản hơn

MoD: Mong bạn gõ latex. Nếu không lần sau sẽ bi phạt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2011 - 11:54