Chủ đề này có 3 trả lời

[acala]

$\left ( _{n}^{o}\textrm{C} \right )^{2} + \left ( _{n}^{1}\textrm{C} \right )^{2} + ... + \left ( _{n}^{n}\textrm{C} \right )^{2} = _{2n}^{n}\textrm{C}$

[Crystal]

$S=\left ( _{n}^{o}\textrm{C} \right )^{2} + \left ( _{n}^{1}\textrm{C} \right )^{2} + ... + \left ( _{n}^{n}\textrm{C} \right )^{2} = _{2n}^{n}\textrm{C}$

Cách 1: Xét đồng nhất thức $${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = {\left( {1 + x} \right)^{2n}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$VT(1) \Leftrightarrow \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right)\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}} \right) = $$
$$ = \left( {C_n^0C_n^n + C_n^1C_n^{n - 1} + C_n^2C_n^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}C_n^1 + C_n^nC_n^0} \right){x^n} + P\left( x \right) = S{x^n} + P\left( x \right)$$
Trong đó $P\left( x \right)$ là đa thức không chứa ${x^n}$. Do đó $S$ cũng chính là hệ số của ${x^n}$ trong $VP(1)$ nên $\boxed{S = C_{2n}^n}$.

Cách 2: Xét công việc sau: Chọn từ $n$ nam và $n$ nữ một nhóm có $n$ người. Có hai hướng giải:

* TH1: Chọn $k$ nam và $n-k$ nữ có $C_n^kC_n^{n - k} = {\left( {C_n^k} \right)^2}$. Do $k$ có thể nhận giá trị từ $1$ đến $n$ và theo quy tắc cộng ta có $S$ chính là tất cả số cách chọn để làm công việc trên.

* TH2: Chọn trực tiếp $n$ người từ hai nhóm nam và nữ sau khi ghép chung hai nhóm đó lại với nhau. Do đó $S = C_{2n}^n$.

Từ đó suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-12-2011 - 16:57

[Crystal]

P/s: Bạn chú ý gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề.

[hxthanh]

Khuyến cáo xusinst không nên trả lời bài viết dạng này!