Chủ đề này có 7 trả lời

[Mai Duc Khai]

Câu 1 (4 điểm)

a, Tính giá trị biểu thức: $$P = \dfrac{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$$

b,Giải phương trình: ${x^4} - 30{x^2} + 31x - 30 = 0$

c,Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+c=2a$ thì ta luôn có:

$$\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} + \dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} = \dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$$

d, Chứng minh rằng : $$\left( {{x^{3m + 1}} + {x^{3n + 2}} + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\forall m,n \in N$$

Câu 2:(4 điểm)

a,Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$

b, Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 18x + 28} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 45} = - {x^2} + 6x - 5$

c, Tìm GTNN của :$A = \dfrac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}$

d,Tìm GTLN của :$M = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}$

Câu 3:(3 điểm)

Xét đa thức : P(x)$={x^9}+{x^{99}}$
a, Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi số x nguyên dương
b,Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100
c, Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4).Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thế là chữ số 0 được không?Tại sao?

Câu 4: (3 điểm)
Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó.Hãy tìm trên Ox,Oy các điểm A,B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Câu 5: (3 điểm)

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn với các đường cao : $AA';BB';CC'$
Gọi H là trực tâm của $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng:
$\dfrac{{HA'}}{{{\rm{AA}}'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 1$

Câu 6 : (3 điểm)
a, Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9$

b,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b>c$ và $|a-b|<c$.Chứng minh rằng phương trình:

${a^2}{x^2} + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)x + {b^2} = 0$ luôn luôn vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 09-12-2011 - 20:16

[Ispectorgadget]

Bài 2:
b) VT =$\sqrt{3(x^2-6x+9)+1}+\sqrt{4(x^2-6x+9)+9}=\sqrt{3(x-3)^2+1}+\sqrt{4(x-3)^2+3}\geq 4$
VP=$-(x^2-6x+9)+4=-(x-3)^2+4\leq 4$
Dấu "=" xảy ra khi x=3
c) $Ax^2-2Ax+A-3x^2+8x-6=0\Leftrightarrow x^2(A-3)+2x(4-A)-6+A=0$
Xét A=3 phương trình có nghiệm$x=\frac{3}{2}$
Xét A khác 3 ta có $\Delta '=(4-A)^2-(A-3)(A-6)=-2+A\geq 0$$\Rightarrow A\geq 2$
d) Nhận xét: mẫu số luôn >0
M đạt Max khi $\frac{1}{M}min\Leftrightarrow \frac{x^4+x^2+1}{x^2}=x^2+1+\frac{1}{x^2}\geq 2+1=3$
Dấu "=" xảy ra khi x=1 hoặc x=-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-12-2011 - 00:12

[hoangtrong2305]

Câu 1 (4 điểm)
a, Tính giá trị biểu thức: $$P = \dfrac{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$$

$P = \dfrac{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$

$P = \frac{\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}}{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}}$

$P = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{5+2\sqrt{6}}}$

$P=1$


Câu 1 c hình như còn thiếu điều kiện thì phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 09-12-2011 - 10:41

[Cao Xuân Huy]

Bài 5:




Ta dễ dàng chứng minh được:


\[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{HA'}}{{AA'}} = \dfrac{{{S_{BHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\\\dfrac{{HB'}}{{BB'}} = \dfrac{{{S_{AHC}}}}{{{S_{ABC}}}}\\\dfrac{{HC'}}{{CC'}} = \dfrac{{{S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{HA'}}{{AA'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = \dfrac{{{S_{BHC}} + {S_{AHC}} + {S_{AHB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\] (ĐPCM)
------------------------------------------
Bạn coi lại đề bài 6c nhé. Nó trái ngược với bài 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 09-12-2011 - 19:43

[ht2pro102]

1b)$x^4-30x^2+31x-30=0 \Leftrightarrow (x-5)(x+6)(x^2-x+1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x + 6 = 0\\{x^2} - x + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 6\end{array} \right.$
--------------------------------------
MOD: Bạn nên học cách gõ $\LaTeX$ nhé. Tham khảo thêm ở đây . (Cao Xuân Huy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 18-12-2011 - 15:09

[Zaraki]

Câu 2:(4 điểm)
a,Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$

Hướng dẫn. \[ y^2 = \frac{2x^2 + 4x - 19}{-3} = \frac{2(x+1)^2 - 21}{-3} = \frac{-2}{3}(x+1)^2 + 7 \le 7 \]

[thedragonknight]

Bài 6a:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}= 9$
Dấu = xảy ra khi a=b=c

[yeutoan11]

Câu 1 (4 điểm)

a, Tính giá trị biểu thức: $$P = \dfrac{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 6 } }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$$

b,Giải phương trình: ${x^4} - 30{x^2} + 31x - 30 = 0$

c,Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+c=2a$ thì ta luôn có:

$$\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} + \dfrac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} = \dfrac{1}{{\sqrt c + \sqrt a }}$$

d, Chứng minh rằng : $$\left( {{x^{3m + 1}} + {x^{3n + 2}} + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} + x + 1} \right)\forall m,n \in N$$

Câu 2:(4 điểm)

a,Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^2} + 4x = 19 - 3{y^2}$

b, Giải phương trình: $\sqrt {3{x^2} - 18x + 28} + \sqrt {4{x^2} - 24x + 45} = - {x^2} + 6x - 5$

c, Tìm GTNN của :$A = \dfrac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}$

d,Tìm GTLN của :$M = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}$

Câu 3:(3 điểm)

Xét đa thức : P(x)$={x^9}+{x^{99}}$
a, Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi số x nguyên dương
b,Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100
c, Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4).Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thế là chữ số 0 được không?Tại sao?

Câu 4: (3 điểm)
Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó.Hãy tìm trên Ox,Oy các điểm A,B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất

Câu 5: (3 điểm)

Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn với các đường cao : $AA';BB';CC'$
Gọi H là trực tâm của $\Delta ABC$ .Chứng minh rằng:
$\dfrac{{HA'}}{{{\rm{AA}}'}} + \dfrac{{HB'}}{{BB'}} + \dfrac{{HC'}}{{CC'}} = 1$

Câu 6 : (3 điểm)
a, Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$.Chứng minh: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 9$

b,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b>c$ và $|a-b|<c$.Chứng minh rằng phương trình:

${a^2}{x^2} + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)x + {b^2} = 0$ luôn luôn vô nghiệm.

6b
$\Delta = (a^2 + b^2 - c^2)^2-4a^2b^2$
$\Leftrightarrow \Delta = (a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2+b^2-c^2-2ab)$
$\Leftrightarrow \Delta = [(a+b)^2-c^2][(a-b)^2-c^2]$
$\Leftrightarrow \Delta = (a+b+c)(a+b-c)(\left | a-b \right |-c)(\left | a-b \right |+c) < 0$
=> ĐPCM