Chủ đề này có 1 trả lời

[PSW]

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ ; $I ; J $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC ; DBC$ còn $E ; F$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $IJ$ với các đoạn thẳng $ AB ; CD$ . Chứng minh rằng tồn tại đường tròn tiếp xúc $(O)$ và với $AB ; CD$ tại $ E ; F$

[vslmat]

Từ E kẻ đường vuông góc với AB, từ F kẻ đường vuông góc với CD, hai đường này cắt nhau tại S. Đường nối tâm O của đường tròn w ngoại tiếp tứ giác ABCD với điểm S cắt đường tròn này tại L và G.
Phân giác CI cắt đường tròn này tại P, phân giác BJ cắt đường tròn này tại N.
$\angle BIC = 90^{\circ} + \frac{\Delta BAC}{2} = 90^{\circ} + \frac{\Delta BDC}{2} = \angle BJC$, tứ giác BIJC là tứ giác nội tiếp
Vì thế, $\angle AEI = \angle EIB + \angle EBI = \angle JCB + \angle EBI = \frac{1}{2} \angle DCB + \frac {1}{2} \angle ABC$
Lại có,
$\angle DFJ = \angle FJC + \angle FCJ = \angle IBC + \angle FCJ = \frac{1}{2} \angle ABC + \frac {1}{2} \angle DBC $
Như vậy, $\angle AEI = \angle DFJ$, nên $\angle SEF = \angle SFE$; SE = SF.
Như vậy đường tròn $w_1$ tâm S, bán kính SE = SF tiếp xúc với AB tại E, tiếp xúc với AC tại F. Chỉ còn phải chứng minh nó tiếp xúc với w.
$OP \perp AB$, OP // SE; $ON \perp SF$, ON//SF nên $\angle PON = \angle ESF$
Nhưng $\angle PON = 2 \angle EGF$, vì thế $\angle ESF = 2 \angle EGF$
Điều này có nghĩa là G nằm trên đường tròn $w_1$.
Vì tâm O của đường tròn w, tâm S của đường tròn $w_1$, và điểm G nằm trên một đường thẳng, $w_1$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ABCD tại G. Ta có điều muốn chứng minh.

Hình gửi kèm

•