Chủ đề này có 2 trả lời

[YenThanh2]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm Max P:

$P=\frac{1+a^2}{1+b^2} +\frac{1+b^2}{1+c^2} + \frac{1+c^2}{1+a^2}$


MOD: Bạn hãy học gõ latex trước khi viết bài !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 16-01-2012 - 13:42
title fixed

[Ispectorgadget]

MAX
Giả sử a=max{a;b;c} $\Rightarrow \frac{1}{3}\leq a\leq 1$
Ta có: $H\leq \frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{c^2}{1+c^2}= \frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2+c^2}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}$
$\leq \frac{1+a^2}{1+b^2}+1+(b+c)^2+\frac{1}{1+a^2}\leq 2+a^2+(1-a)^2+\frac{1}{1+a^2}$
Xét hàm số
$f(a)=a^2+(1-a)^2+\frac{1}{1+a^2};a\in [\frac{1}{3};1]$
Ta được $f(a)\leq f(1)=\frac{3}{2}\Rightarrow H\leq \frac{7}{2}$
Min =.=
Áp dụng AM-GM 3 số ta có
$H\geq 3$
Xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-03-2012 - 00:11

[KietLW9]

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học