$2(l_{a}+l_{b}+l_{c})= \sqrt{3} (a+b+c)$
chứng minh: tam giác ABC đều
( với l là độ dài phân giác phát xuất từ các đỉnh)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kingyo: 11-12-2011 - 13:21
Cho tam giác ABC thỏa: $2(l_{a}+l_{b}+l_{c})= \sqrt{3} (a+b+c)$ chứng minh: tam giác ABC đều ( với l là độ dài phân giác phát xuất từ các đỉnh)
Bắt đầu bởi kingyo, 11-12-2011 - 12:29
#1
Đã gửi 11-12-2011 - 12:29
kingyo
-
- Thành viên
-
- 120 Bài viết
Trung sĩ
Cho tam giác ABC thỏa:
$2(l_{a}+l_{b}+l_{c})= \sqrt{3} (a+b+c)$
chứng minh: tam giác ABC đều
( với l là độ dài phân giác phát xuất từ các đỉnh)
$2(l_{a}+l_{b}+l_{c})= \sqrt{3} (a+b+c)$
chứng minh: tam giác ABC đều
( với l là độ dài phân giác phát xuất từ các đỉnh)
#2
Đã gửi 15-12-2011 - 13:33
jb7185
-
- Thành viên
-
- 147 Bài viết
Trung sĩ
Ta có:
$l_{a}=\dfrac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}\leq \sqrt{p(p-a)}$ (vì $b+c\geq 2\sqrt{bc}$)
Tương tự với $l_{b}$, $l_{c}$, suy ra:
$2(l_{a}+l_{b}+l_c)\leq 2\sqrt{p}(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})$
Theo Bunhiacopski:
$\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq \sqrt{3p}$
Do đó:
$2(l_{a}+l_{b}+l_c)\leq \sqrt{3}(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ đều
$l_{a}=\dfrac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}\leq \sqrt{p(p-a)}$ (vì $b+c\geq 2\sqrt{bc}$)
Tương tự với $l_{b}$, $l_{c}$, suy ra:
$2(l_{a}+l_{b}+l_c)\leq 2\sqrt{p}(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})$
Theo Bunhiacopski:
$\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq \sqrt{3p}$
Do đó:
$2(l_{a}+l_{b}+l_c)\leq \sqrt{3}(a+b+c)$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $\Delta ABC$ đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 15-12-2011 - 13:45
- chanh1223 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
