Bắt đầu đếm số hình vuông ngang trước vì nó dễ hơn mà.
Dễ thấy tính chất sau:
Cho 1 dãy gồm n phần tử, gộp k phần tử liên tiếp làm một nhóm $\Rightarrow$ có (n-k+1) nhóm.
Như vậy, trong một đường biên ngoài của hình vuông n đang xét, với mỗi cách gộp m hình vuông con liên tiếp, ta sẽ chỉ ra được một hình vuông tạo thành. Suy ra, trong 1 đường biên sẽ tạo ra được $\sum_{m=1}^{n}n-m+1=1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Trong hai đường biên có n hình vuông ngang bị đếm hai lần (n hình vuông có đỉnh là đỉnh của hình vuông lớn bị đếm hai lần), như vậy số hình vuông đếm ngang là:$2*\dfrac{n(n+1)}{2}-n=n^{2}$
_____________________________________________________________________________
Bây giờ đếm hình vuông chéo. Nên đếm trong trường hợp cụ thể, ví dụ x=9, x= 10 để kiếm chứng rồi tổng quát hóa lên.
Có hai loại hình vuông chéo là hình vuông có 1 đỉnh ngoài cùng nằm trên mép của đường biên ngoài và hình vuông có đỉnh ngoài cùng là tâm của các hình vuông đường biên ngoài. Gọi các đỉnh ở biên ngoài là 0,1,2,...,x. Cách đếm như sau, các đỉnh từ 0 tới x/2 đếm chéo lên trên, các đỉnh từ x/2 tới x đếm chéo xuống dưới.
TH1: $n=2m$ (n chẵn), theo cách đếm như trong bảng sau, ta có kết quả:
Tổng số hình vuông chéo của một biên là: $2(1+2+3+...+2m)+2m-2=4m^{2}+4m-2.$
Sau hai lần đếm biên, số hình vuông đếm hai lần là: $4(m-1)+1=4m-3$
Như vậy, tổng số hình vuông chéo là $2(4m^{2}+4m-2)-(4m-3)=8m^{2}+4m-1=2n^{2}+2n-1$.
TH2: $n=2m+1$ làm tương tự như trên, ta được số hình vuông chéo là: $2n^{2}+2n$
Như vậy $S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n-1=S_{n-1} +3n^{2}+2n-1$ với n chẵn.
$S_n=S_{n-1} + n^{2} +2n^{2}+2n=S_{n-1} +3n^{2}+2n$ với n lẻ.
Dùng quy nạp toán học suy ra $S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}-\dfrac{1}{2}$ với n chẵn và
$S_{n}=\dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2}$ với n lẻ
Hay $S_{n}=\left [ \dfrac{n^{2}\left ( 2n+1 \right )}{2} \right ]$
Có bạn nào còn cách khác thì post lên cho mình xem nha.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 22-12-2011 - 06:02
hình vẽ.bmp 2.65MB
589 Số lần tải
