Chủ đề này có 1 trả lời

[Poseidont]

tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp đường tròn (O;r)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-12-2011 - 18:51

[Ispectorgadget]

Tác phẩm đầu tay cho nên không được đẹp cho lắm
Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;r) có S =$\dfrac{r^23\sqrt{3}}{4}$
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O;r) tại K
Ta có Diện tích tam giác ABC < diện tích tam giác BIC
S BCI = IH.HB
$S_{BIC}^2=HB^2.IH^2$
Lại có: $BH^2=HK.HI$ (Hệ thức lượng)
Do đó$S_{BIC}^2=KH.IH^3=(2r-IH)IH^3=\dfrac{IH^3}{3}(6r-3IH)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$HI+HI+HI+(6r-3HI)\geq 4\sqrt[4]{HI^3.(6r-3IH)}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}r\geq 4\sqrt[4]{HI^3.(6r-3IH)}$
$\Rightarrow \dfrac{81}{16}r^4\geq IH^3(6r-3IH)\Leftrightarrow \dfrac{27}{16}r^2\geq IH^3.(2r-IH)\Rightarrow \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2\geq \sqrt{IH^3(2r-IH)}=S_{BIC}$
Do đó$S_{ABC}$
Dấu "=" xảy ra khi HI = 6r -3IH
Do đó HI =$\dfrac{3}{2}r$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-12-2011 - 22:45