Chủ đề này có 7 trả lời

[Crystal]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA KOSOVO NĂM 2011

KOSOVOTeam Selection Tests 2011

Câu 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\dfrac{{5{a^2} + 5{b^2} + 8{c^2}}}{{4ac}}} } \geqslant 3\sqrt[9]{{\dfrac{{8{{\left( {a + b} \right)}^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}}$$

Câu 2: Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện và đoạn nối hai trung điểm của hai đường chéo trong một tứ giác lồi là đồng quy, đồng thời nó cũng là trung điểm của ba đoạn trên.

Câu 3: Cho $n\in \mathbb{N}^{*}$, ta xác định $S\left ( n \right )=\left \{ 1+g+g^{2}+...+g^{n-1}|g\in \mathbb{N},n\geqslant 2 \right \}$.

• Chứng minh rằng $S\left( 3 \right) \cap S\left( 4 \right) = \emptyset $
• Hãy xác định $[S\left( 3 \right) \cap S\left( 5 \right)$

Câu 4: Từ số ${7^{1996}}$ ta xóa đi chữ số đầu tiên và cộng nó vào số còn lại sau khi xóa chữ số đầu. Lặp lại quá trình này cho đến khi ta được số có $10$ chữ số. Chứng minh rằng số còn lại có $2$ chữ số đầu giống nhau.

Câu 5: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa điều kiện
$$f\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x + 1}}} \right) + f\left( {\dfrac{{3 + x}}{{1 - x}}} \right) = x,\forall x \notin \left\{ { - 1,1} \right\}$$

[Didier]

Bài 5 khá cơ bản và có lâu rồi mà sao lại đưa vào làm gì nhỉ
$f(\dfrac{x-3}{x+1})+f(\dfrac{3+x}{1-x})=x$
Đặt $t=\dfrac{x-3}{x+1}\Rightarrow f(t)+f(\dfrac{t-3}{t+1})=\dfrac{3+t}{1-t}$
Đặt $t=\dfrac{3+x}{1-x}\Rightarrow f(\dfrac{t+3}{1-t})+f(t)=\dfrac{t-3}{1+t}$
Cộng hai vế ta có
$\dfrac{8t}{1-t^{2}}=2f(t)+f(\dfrac{t+3}{1-t})+f(\dfrac{t-3}{t+1})=2f(t)+t$
$\Rightarrow f(t)=\dfrac{4t}{1-t^{2}}-\dfrac{t}{2}$
Ad ơi tại sao bộ gõ latex xấu vậy ạ trông khác mọi hôm quá ,ai chỉnh lại như bình thường được không thanks!

[Crystal]

Bài 5 khá cơ bản và có lâu rồi mà sao lại đưa vào làm gì nhỉ

@ Didier: Mình biết bài 5 chính là bài mà bạn đã đưa lên hỏi ở diễn đàn cách đây khoảng 4-5 tháng trước. Lúc đó bạn có nghĩ đó là bài toán cơ bản? Bạn nghĩ một bài "cơ bản" không cần có mặt trong đề thi?

Cảm ơn bài giải của bạn!

[Crystal]

Một cách trình bày khác cho bài 5.

Đặt $$g\left( x \right) = \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} \Rightarrow g\left( {g\left( x \right)} \right) = \dfrac{{x + 3}}{{1 - x}} \Rightarrow g\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = x$$
Khi đó: $$Q\left( x \right):f\left( {g\left( x \right)} \right) + f\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = x$$
Ta có: $$Q\left( x \right) \Rightarrow f\left( {g\left( x \right)} \right) + f\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = x,\,\,\,\forall x \notin \left\{ { - 1,1} \right\}$$
$$Q\left( {g\left( x \right)} \right) \Rightarrow f\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) + f\left( x \right) = g\left( x \right)$$
$$Q\left( {g\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( x \right) + f\left( {g\left( x \right)} \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right)$$

Cộng phương trình thứ hai với phương trình thứ ba rồi trừ phương trình thứ nhất, ta được:
$$2f\left( x \right) = g\left( x \right) + g\left( {g\left( x \right)} \right) - x,\,\,\forall x \notin \left\{ { - 1,1} \right\} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {{x^2} + 7} \right)}}{{2\left( {1 - {x^2}} \right)}}\,\,\,\,\forall x \notin \left\{ { - 1,1} \right\}$$
Thử lại thấy thoả!

[Karl Heinrich Marx]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA KOSOVO NĂM 2011

KOSOVOTeam Selection Tests 2011

Câu 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\dfrac{{5{a^2} + 5{b^2} + 8{c^2}}}{{4ac}}} } \geqslant 3\sqrt[9]{{\dfrac{{8{{\left( {a + b} \right)}^2}{{\left( {b + c} \right)}^2}{{\left( {c + a} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}}$$

ta chứng minh điều sau:
$$ \sqrt{\dfrac{5a^2+5b^2+8c^2}{4ac}} \ge \sqrt[3]{\dfrac{2(c+a)(c+b)}{ac}} $$
$$ \Leftrightarrow (5a^2+5b^2+8c^2)^3 \ge 4^4ac(c+a)^2(c+b)^2 $$
bây giờ cần đến các bất đẳng thức nhỏ sau:
$$ 5a^2+5b^2+8c^2 \ge 4(c+a)(c+b) $$
$$ \Leftrightarrow 2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2+a^2+b^2 \ge 0 $$
cái này hiển nhiên đúng.
và ta có $$ 5a^2+5b^2+8c^2 \ge 4a^2+8c^2 \ge 16ac $$
Như vậy bđt cần chứng minh ban đầu đã được chứng minh. Đến đây chỉ cần cauchy 3 số 1 phát là xong.

[Karl Heinrich Marx]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA KOSOVO NĂM 2011

KOSOVOTeam Selection Tests 2011

Câu 3: Cho $n\in \mathbb{N}^{*}$, ta xác định $S\left ( n \right )=\left \{ 1+g+g^{2}+...+g^{n-1}|g\in \mathbb{N},n\geqslant 2 \right \}$.

• Chứng minh rằng $S\left( 3 \right) \cap S\left( 4 \right) = \emptyset $
• Hãy xác định $[S\left( 3 \right) \cap S\left( 5 \right)$

Nếu tồn tại $g,m$ thỏa mãn $1+g+g^2=1+m+m^2+m^3$ thì $(g-m)(g+m+1)=m^3$ Dễ dàng suy ra $g-m=1$, do đó $2(m+1)=m^3$ ko có m nên giao của $S(3)$ và $S(4)$ bằng rỗng
Nếu tồn tại $g,m$ thỏa mãn $1+g+g^2=1+m+m^2+m^3+m^4$ thì $(g-m)(g+m+1)=m^3(m+1)$
Nếu $m=1$ thay vào không thỏa mãn
xét $m>1$ nếu $(g,m)>1$ thì suy ra $g-m=m^3,g+m+1=m+1$ mà $g+m+1>g-m$ nên vô lí.
Vậy suy ra $g-m=m+1,g+m+1=m^3$ ta có cặp nghiệm $(5;2)$ do đó giao của $S(3)$ và S(5)$ là 31

[Tham Lang]

ta chứng minh điều sau:
$$ \sqrt{\dfrac{5a^2+5b^2+8c^2}{4ac}} \ge \sqrt[3]{\dfrac{2(c+a)(c+b)}{ac}} $$
$$ \Leftrightarrow (5a^2+5b^2+8c^2)^3 \ge 4^4ac(c+a)^2(c+b)^2 $$
bây giờ cần đến các bất đẳng thức nhỏ sau:
$$ 5a^2+5b^2+8c^2 \ge 4(c+a)(c+b) $$
$$ \Leftrightarrow 2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2+a^2+b^2 \ge 0 $$
cái này hiển nhiên đúng.
và ta có $$ 5a^2+5b^2+8c^2 \ge 4a^2+8c^2 \ge 16ac $$
Như vậy bđt cần chứng minh ban đầu đã được chứng minh. Đến đây chỉ cần cauchy 3 số 1 phát là xong.

cái này dẫn đến a = b = 0 ?

[le anh tu]

cái này dẫn đến a = b = 0 ?

a có cách làm khác ko?