Chủ đề này có 3 trả lời

[Cao Xuân Huy]

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC và các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác. Chứng minh rằng trong 3 tam giác ADF; BDE; CEF tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{4}$ diện tích tam giác ABC.

Bài 2: Cho đường tròn (O) và điểm A ngoài đường tròn. Từ A vẻ các tiếp tuyến AB và AC đến (O). Kẻ đường kính BD của (O). K là hình chiếu của C trên BD. Chứng minh AD đi qua trung điểm của CK

[solitarycloud2612]

Bài 2)
kéo dài CD cắt AB tại H, gọi I là giao điểm CK và AD.
có:$\left. \begin{gathered}
CK \bot BD \\
AB \bot BD \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow CK//AB$
ta cm được $\vartriangle ACH$ cân tại A$ \Rightarrow AC = AB = AH$(1)
Có: IK//AB ($I \in CK$)$ \Rightarrow \dfrac{{DI}}
{{DA}} = \dfrac{{IK}}
{{AB}}$(2)
mặt khác: CI//AH$(I \in CK;H \in AB)$$ \Rightarrow \dfrac{{DI}}
{{DA}} = \dfrac{{CI}}
{{AH}}$(3)
từ (2) và (3)$ \Rightarrow \dfrac{{IK}}
{{AB}} = \dfrac{{IC}}
{{AH}}$(4)
từ (1) và (4)$ \Rightarrow IK = IC$
suy ra đccm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-12-2011 - 20:45

[Ispectorgadget]

Bài 1:

Đặt diện tích các tam giác ABC, ADF, BDE, EFC lần lượt là $S; S_{1};S_{2};S_{3}$
Giả sử trong các $\Delta ADF,BDE,EFC$ không có tam giác nào có diện tích $\leq \dfrac{SABC}{4}$
Suy ra $$S_{1}.S_{2}S_{3}> (\dfrac{S_{ABC}}{4})^{3}$$

Ta có: $\dfrac{S_{1}}{S}$=$\dfrac{\dfrac{1}{2}AD.AF.sinA}{\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA}=\dfrac{AD.AF}{AB.AC}$
Tương tự ta có:
$\dfrac{{S_2 }}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}.BD.BE.\sin B}}{{\dfrac{1}{2}BA.BC.\sin B}} = \dfrac{{BD.BE}}{{BA.BC}}$
$ \dfrac{{S_3 }}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}CF.CE.\sin C}}{{\dfrac{1}{2}CB.CA.\sin C}} = \dfrac{{CF.CE}}{{CB.CA}}$
Nhân lại ta có:
$\dfrac{S_{1}.S_{2}.S_{3}}{S^3}=\dfrac{AD.BD}{AB^2}.\dfrac{AF.FC}{AC^2}.\dfrac{BE.EC}{BC^2}$
$\leq \dfrac{1}{AB^2}(\dfrac{AD+BD}{2})^2.\dfrac{1}{AC^2}.(\dfrac{AF+FC}{2})^2.\dfrac{1}{BC^2}(\dfrac{BE+EC}{2})^2$
$S_{1}S_{2}S_{3}\leq (\dfrac{S_{ABC}}{4})^3$
Do đó giả sử trên là sai. Vì vậyluôn tồn tại 1 trong 3 tam giác có S$\leq \dfrac{S_{ABC}}{4}$ (Đpcm)

P/S: Bài giải này thay cho quà sn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 18-12-2011 - 16:12

[Cao Xuân Huy]

Bài 3: Cho AC và BD 2 đường kính của (O) sao cho $AB<BC$. Lấy E trên dây AD sao cho $BC=BE$. Phân giác của $\widehat{CBE}$ cắt CD tại F. Tia FE cắt tia BA tại I. Tia CI cắt cung AD tại H. Chứng minh cung BC bằng cung BH.

Bài 4: Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Trên tia đối của tia DB lấy E, trên tia đối của tia BD lấy F sao cho BF=DE. Vẽ đường tròn (B;BA) và (E;EA). Tia AF cắt (B) ở H, tia HC cắt (E) ở K. Chứng minh A, D, K thẳng hàng và $\widehat{BDC}=\widehat{EKC}$
--------------------------------
P/S: 2 bài này khá dễ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 22-12-2011 - 22:21