Thêm vài bài:
9) $\lim \dfrac{1}{{\sqrt n }}\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }}} \right)$
10) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\left( {{x^{2011}} - {a^{2010}}} \right) - 2011{a^{2010}}\left( {x - a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}$
11) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \cos x\cos 2x\cos 3x...\cos 10x}}{{{x^2}}}$
Câu 9: Dùng định lí Stolz
Đặt $$\left\{ \begin{array}{l}
{x_n} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }}\\
{y_n} = \sqrt n
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {n \ge 1} \right)$$
Khi đó: dãy $\left\{ {{y_n}} \right\}$ tăng thực sự tới $ + \infty $ tức $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y_n} = + \infty $
Ta có: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_n} - {x_{n - 1}}}}{{{y_n} - {y_{n - 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{{\sqrt n }}}}{{\sqrt n - \sqrt {n - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{\sqrt n + \sqrt {n - 1} }}{{\sqrt n }} = 2$$
Theo định lí Stolz, suy ra: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt n }}\left( {1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }}} \right) = \boxed2$$
Câu 10: Anh nghĩ đề đúng phải là $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\left( {{x^{2011}} - {a^{2011}}} \right) - 2011{a^{2010}}\left( {x - a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}$$
Khi đó, anh đưa ra bài toán tổng quát: $$\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\left( {{x^n} - {a^n}} \right) - n{a^{n - 1}}\left( {x - a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}}$$Ta có: $$\left( {{x^n} - {a^n}} \right) - n{a^{n - 1}}\left( {x - a} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 1}}} \right) - n{a^{n - 1}}\left( {x - a} \right)$$
$$ = \left( {x - a} \right)\left[ {\left( {{x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 1}}} \right) - n{a^{n - 1}}} \right]$$
Lại có: $${x^{n - 1}} + a{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^{n - 1}} = \left( {{x^{n - 1}} - {a^{n - 1}}} \right) + \left( {a{x^{n - 2}} - {a^{n - 1}}} \right) + ... + \left( {x{a^{n - 2}} - {a^{n - 1}}} \right)$$
$$ = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 2}}} \right) + a\left( {{x^{n - 2}} - {a^{n - 2}}} \right) + ... + {a^{n - 2}}\left( {x - a} \right)$$
$$ = \left( {x - a} \right)\left[ {\left( {{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 2}}} \right) + a\left( {{x^{n - 3}} + ... + {a^{n - 3}}} \right) + ... + {a^{n - 2}}} \right]$$
Do đó: $$\left( {{x^n} - {a^n}} \right) - n{a^{n - 1}}\left( {x - a} \right) = {\left( {x - a} \right)^2}\left[ {\left( {{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 2}}} \right) + a\left( {{x^{n - 3}} + ... + {a^{n - 3}}} \right) + ... + {a^{n - 2}}} \right]$$
Vậy $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\left( {{x^n} - {a^n}} \right) - n{a^{n - 1}}\left( {x - a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\left( {{x^{n - 2}} + ... + {a^{n - 2}}} \right) + a\left( {{x^{n - 3}} + ... + {a^{n - 3}}} \right) + ... + {a^{n - 2}}} \right]$$
$$ = \boxed{\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}{a^{n - 2}}}$$
Từ đó, cho $n = 2011$, ta được: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \dfrac{{\left( {{x^{2011}} - {a^{2011}}} \right) - 2011{a^{2010}}\left( {x - a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} = \boxed{\dfrac{{2010.2011}}{2}{a^{2009}}}$$