Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

CMR: $1^{2} +2^{2}+3^{2}+....+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

[phuonganh_lms]

Với những bài toán chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương thì ta thường sử dụng qui nạp
$$1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$ (*)
Nhận thấy với $n=1$ thì đẳng thức luôn đúng
Giả sử (*) đúng với $n=k$ $(k>1,k \in Z+)$, tức là có $1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k(K+1)(2k+1)}{6}$
Ta cm (*) đúng với $n=k+1$ $\Leftrightarrow 1^2+2^2+....+k^2+(k+1)^2 =\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ (1)
Ta có $VT(1)= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2$ (theo giả thiết qui nạp)
$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
Vậy (1) đúng=> dpcm

[Nguyễn Hưng]

Mình vừa nghĩ ra một cách giải rất hay và sơ cấp, mọi người tham khảo thêm!

Đặt

\[\begin{array}{l}
A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} \\
B = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} \\
C = 1 + 2 + 3 + ... + n \\
\end{array}\]
Ta có

\[\begin{array}{l}
2A + 3B + C = 1.2.3 + 2.3.5 + 3.4.7 + ... + \left( {n - 1} \right)n\left( {2n - 1} \right) + n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \\
2A - 3B + C = 0.1.1 + 1.2.3 + 2.3.5 + 3.4.7 + ... + \left( {n - 1} \right)n\left( {2n - 1} \right) \\
\end{array}\]
Trừ hai đẳng thức trên vế theo vế, ta được
\[6B = n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) \Rightarrow \boxed{B = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}\].

[hxthanh]

Phương pháp chứng minh bằng quy nạp thì rõ rồi!
Chắc Kiên chưa biết rằng người ta gọi tổng đó là TỔNG CƠ BẢN phải không?

$S_0=1+1+...+1=\sum\limits_{k=1}^n$ Được gọi là tổng cơ bản bậc 0 (!)

$S_1=1+2+...+n=\sum\limits_{k=1}^n k$ Được gọi là tổng cơ bản bậc 1

$S_2=1^2+2^2+...+n^2=\sum\limits_{k=1}^n k^2$ Được gọi là tổng cơ bản bậc 2

$S_3=1^3+2^3+...+n^3=\sum\limits_{k=1}^n k^3$ Được gọi là tổng cơ bản bậc 3

$...$
Ta đi tính lần lượt các tổng cơ bản trên Kiên nhé!

$S_0=1+1+...+1=n$ (có n số 1)

$n^2=\sum\limits_{k=1}^n\left((k^2-(k-1)^2\right)=\sum\limits_{k=1}^n\left(2k-1\right)=2S_1-S_0$

$\Rightarrow S_1=\dfrac{n^2+S_0}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$n^3=\sum\limits_{k=1}^n\left((k^3-(k-1)^3\right)=\sum\limits_{k=1}^n\left(3k^2-3k+1\right)=3S_2-3S_1+S_0$

$\Rightarrow S_2=\dfrac{n^3+3S_1-S_0}{3}=\dfrac{n^3+\dfrac{3n(n+1)}{2}-n}{3}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

v.v...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 24-12-2011 - 12:14

[Bong hoa cuc trang]

cái kí hiệu chữ E kia là gì đấy chị hxthanh .

[Ispectorgadget]

cái kí hiệu chữ E kia là gì đấy chị hxthanh .

Ý bạn là chữ $\sum$ này à, Chữ này là kí hiệu tổng.
Mà Thầy hxthanh giới tính nam đấy. Không phải chị đâu.

[Cao Xuân Huy]

Anh đưa ra một cách khác nhé:

$S = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} = \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1 - 1)} = \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)} - \sum\limits_{i = 1}^n i $

Ta có:

$3.\sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)} = \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)[(i + 2) - (i - 1)]} = \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)(i + 2)} - \sum\limits_{i = 1}^n {(i - 1)i(i + 1)} $

$= 1.2.3 + 2.3.4 + ... + n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2 - 1.2.3 - ... - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)$

$\Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)} = \dfrac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3}$

Ta cũng đã học cái đẳng thức: $\sum\limits_{i = 1}^n i = \dfrac{{n(n + 1)}}{2}$

Vậy: $= \sum\limits_{i = 1}^n {i(i + 1)} - \sum\limits_{i = 1}^n i = \dfrac{{n(n + 1)(n + 2)}}{3} - \dfrac{{n(n + 1)}}{2} = \dfrac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 25-12-2011 - 07:55