2 replies to this topic

[phamvanha92]

Cho hình vuông ABCD và 2005 đường thẳng thỏa mãn đồng thời 2 đkiện:
1; Mỗi đường thẳng cắt 2 cạnh hình vuông.
2; Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 phần có tỷ số diện tích là 1/2.
CMR: có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy!

[hxthanh]

Chia đường chéo AC thành 3 phần bằng nhau bởi các điểm M,N (AM=MN=NC)


Chia đường chéo BD thành 3 phần bằng nhau bởi các điểm P,Q (BP=PQ=QD)
Dễ dàng chứng minh được những đường thẳng đi qua một trong các điểm M,N,P,Q là những đường thẳng thoả mãn yêu cầu đề bài.
Có 2005 đường thẳng như vậy, theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất 502 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm trên.
(Nếu mỗi điểm chỉ có nhiều nhất 501 đường thẳng đi qua thì số đường thẳng không vượt quá 501*4=2004)

[ngoc980]

GH,IK la hai duong trung binh cua hinh vuong ABCD G $\epsilon$ AB ;E$\epsilon$ AD
Gia su d la duong thang chia hv thanh hai phan
Gia su d cat AB,CD tai M.N
d cat EF tai $I{1}$
ta co $\frac{S_{AMND}}{S_{BMNC}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{EI_{1}}}{FI_{1}}= \frac{1}{3}$
Ma EF co dinh nen I1 co dinh
Nhu vay moi duong thang da cho chia duong trung binh hinh vuong teo ti so 1/3
moi duong trung binh ta lay dc 2 diem nhu vay
co 2005 dg thang ma moi duong thang di qua 1 trong 4 diem (thuoc hai duong trung binh)
vay ton tai it nhat [2005/4] +1=502 duong thang di qua cung 1 diem

Edited by perfectstrong, 01-02-2012 - 17:18.