Chủ đề này có 2 trả lời

[phamvanha92]

Với n là số nguyên dương tình tổng:
$S= 2^{n-1}+ 2.2^{n-2}+ 3.2^{n-3}+...+(n-1).2+n$

[nguyenta98]

Với n là số nguyên dương tình tổng:
$S= 2^{n-1}+ 2.2^{n-2}+ 3.2^{n-3}+...+(n-1).2+n$

Bổ đề: $A=2^k+2^{k-1}+...+2^4+2^3+2^2+1=2^{k+1}-1$
Chứng minh bổ đề:
$\leftrightarrow 2A=2^{k+1}+2^k+2^{k-1}+...+2^3+2^2$
$\leftrightarrow 2A-A=2^{k+1}-1 \leftrightarrow A=2^{k+1}-1$ suy ra $đpcm$

Áp dụng: Viết lại $S$ thành
$S=(2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1)+(2^{n-2}+2^{n-3}+...+2+1)+...+(2^3+2^2+2+1)+(2^2+2+1)+(2+1)+1$
Áp dụng bổ đề cho từng $(...)$ ta có
$\leftrightarrow S=(2^{n}-1)+(2^{n-1}-1)+.,,+(2^4-1)+(2^3-1)+(2^2-1)+(2^1-1)$
$\leftrightarrow S=2^{n}+2^{n-1}+...+2^2+2+1-(n+1)$
Áp dụng bổ đề tiếp lần nữa
$\leftrightarrow S=2^{n+1}-1-(n+1)=2^{n+1}-(n+2)$
Vậy $\boxed{S=2^{n+1}-(n+2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 25-12-2011 - 15:32

[hxthanh]

Một các làm khác dựa trên dãy số nhân, như sau:

Đặt $$S_n=1.2^{n-1}+2.2^{n-2}+3.2^{n-3}+...+(n-1).2^1+n\;\;\;(1)$. Với $n \ge 1$$
Dễ thấy: $S_1=1$
Từ (1) ta có:$$2S_n+(n+1)=1.2^n+2.2^{n-1}+3.2^{n-2}+...+(n-1).2^2+n.2^1+(n+1)=S_{n+1}$$
Suy ra:$$S_n=2.S_{n-1}+n$$
\[ \Leftrightarrow \left( {{S_n} + n + 2} \right) = 2({S_{n - 1}} + (n - 1) + 2) = {2^2}({S_{n - 2}} + (n - 2) + 2{\rm{)}} = ... = {2^{n - 1}}({S_1} + (1) + 2{\rm{)}} = {2^{n - 1}}.4 = {2^{n + 1}}\]
Do đó ta có: $$\boxed{S_n=2^{n+1}-(n+2)}$$
____________________________________________

Em sửa $\LaTeX$ như vậy không biết nội dung đúng chưa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 25-12-2011 - 16:31