Chủ đề này có 5 trả lời

[nhoka2]

với a,b,c dương CMR
$$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\leqslant \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$$
thanks
chúc mọi người giáng sinh vui vẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhoka2: 24-12-2011 - 16:42

[dark templar]

với a,b,c dương CMR
$$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\leqslant \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$$
thanks
chúc mọi người giáng sinh vui vẻ

Gợi ý: Chứng minh BĐT kép sau:
$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{a}{a+b} \right)<2 \le \sum_{sym}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \right)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-12-2011 - 20:07

[nhoka2]

Gợi ý: Chứng minh BĐT kép sau:
$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{a}{a+b} \right)<2 \le \sum_{sym}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \right)$$

bạn có thể nói rõ hơn giúp mình được không? (mình học bdt còn kém lắm)

[Crystal]

Chứng minh: $$\sum\limits_{cyc} {\left( {\dfrac{a}{{a + b}}} \right) < 2 \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} < 2} $$
Ta có: $$a < a + b \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} < \dfrac{{a + c}}{{a + b + c}}$$
Tương tự: $$\dfrac{b}{{b + c}} < \dfrac{{b + a}}{{b + c + a}};\,\,\dfrac{c}{{c + a}} < \dfrac{{c + b}}{{c + a + b}}$$
Cộng các BĐT trên vế theo vế, ta được:
$${\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} < \dfrac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}} = 2 \Rightarrow Q.E.D}$$

Chứng minh: $$\sum\limits_{sym} {\sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} } \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\dfrac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\dfrac{c}{{a + b}}} \ge 2$$

$ \to $ Xem

P/s: Dấu "=" không xảy ra.

[Ispectorgadget]

Thôi thì vậy coi như là bài khác vậy

Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c>0$
$\Rightarrow \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên: $0<\dfrac{a}{b+c}<1;0<\dfrac{b}{a+c}<1;0<\dfrac{c}{a+b}<1;$
$ \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}>\sum \dfrac{a}{b+c}$
Kết hợp: ta có: $\sum \dfrac{a}{a+b}<\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-01-2012 - 00:32

[Tham Lang]

Mới tìm được cách giải khác cho bài này:
Không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c>0$
$\Rightarrow \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên: $0<\dfrac{a}{b+c}<1;0<\dfrac{b}{a+c}<1;0<\dfrac{c}{a+b}<1;$
$ \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}>\sum \dfrac{a}{b+c}$
Kết hợp: ta có: $\sum \dfrac{a}{a+b}<\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\Rightarrow dpcm$

Bạn nhầm rồi, a,b,c đâu phải là 3 cạnh của tam giác !