2 replies to this topic

[Rayky]

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, đường kính MN vuông góc với BC tại M, tiếp tuyến với đường tròn tại N cắt AB và AC lần lượt tại E;F. CMR: $\dfrac{MC}{MB}$ = $\dfrac{NE}{NF}$
Bài này mình làm mãi mà vẫn thấy bế tắc, mình nghĩ là chứng minh EC; BF và MN đồng quy mà không chứng minh được. Mọi người giúp mình với

Edited by Rayky, 26-12-2011 - 20:33.

[Mylovemath]

Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, đường kính MN vuông góc với BC tại M, tiếp tuyến với đường tròn tại N cắt AB và AC lần lượt tại E;F. CMR: $\dfrac{MC}{MB}$ = $\dfrac{NE}{NF}$
Bài này mình làm mãi mà vẫn thấy bế tắc, mình nghĩ là chứng minh EC; BF và MN đồng quy mà không chứng minh được. Mọi người giúp mình với

Sao lại thế ??

Edited by Mylovemath, 27-12-2011 - 17:45.

[perfectstrong]

Thực ra, nếu vẽ AN cắt BC tại P thì BM=CP. Kết quả này khác quen thuộc, dành lại cho bạn.
Còn mình sẽ chứng minh \[ \dfrac{MC}{MB}=\dfrac{NE}{NF} \]
EO,BO là phân giác của $\angle BEF;\angle EBC$ tương ứng và FE//BC
\[ \Rightarrow \angle OEB+\angle OBE=90^o \Rightarrow \angle EBO=90^o \Rightarrow \angle EON+\angle BOM=90^o=\angle EON+\angle OEN \]
\[ \Rightarrow \angle OEN=\angle BOM \Rightarrow \vartriangle MOB \sim \vartriangle NEO (g.g) \]
\[ \Rightarrow \dfrac{MO}{MB}=\dfrac{NE}{NO} \Rightarrow MO.NO=NE.MB \]
Tương tự \[ MC.NF=MO.NO=NE.MB \Rightarrow Q.E.D \]
============================================
Kết quả EC;FB;MN đồng quy khá hay. Mình sẽ thử chứng minh sau.