Chứng minh $S_{2}=\left \{w_{1},w_{2} \right \}$$ là một cơ sở của V
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 22:55
Cho $w_{1}=u_{1}+u_{2}\;và\;w_{2}=2u_{1}+3u_{2}$. Chứng minh: $$S_{2}=\left\{w_{1},w_{2}\right\}$$ là một cơ sở của $V$
Bắt đầu bởi cutidanbau, 28-12-2011 - 21:58
#1
Đã gửi 28-12-2011 - 21:58
cutidanbau
-
- Thành viên
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
Cho $S_{1}=\left \{u_{1},u_{2} \right \}$ là một cơ sở của khong gian véc tơ V và T là một ánh xạ tuyến tính trên V thỏa $T\left ( u_{1} \right )=3u_{1}+2u_{2}\; và\; T\left ( u_{2} \right )=2u_{1}+u_{2}$ .Cho $w_{1}=u_{1}+u_{2}\; và\; w_{2}=2u_{1}+3u_{2}$
Chứng minh $S_{2}=\left \{w_{1},w_{2} \right \}$$ là một cơ sở của V
Chứng minh $S_{2}=\left \{w_{1},w_{2} \right \}$$ là một cơ sở của V
#2
Đã gửi 29-12-2011 - 08:42
fghost
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Vì số lượng vector của $S_1$ và $S_2$ là như nhau, $S_1$ và $S_2$ cùng trên V (mà $S_1$ là cơ sở), nên $S_2$ là cơ sở của V khi và chỉ khi $S_2$ independent (không phụ thuộc tuyến tính?) hoặc $S_2$ spans V (mình ko dịch được). Với bài này, có lẽ chứng minh $S_2$ independent sẽ dễ hơn.
Để làm điều đó, thử dùng định nghĩa của independent.
Nếu
$$aw_1 + bw_2=0 $$
$$\Rightarrow au_1 + au_2 + 2bu_1 + 3bu_2=0 \Rightarrow (a+2b)u_1+(a+3b)u_2=0$$
Vì $S_1 = \left \{ u_1, u_2 \right \}$ là cơ sở, nên 2 vector $u_1, u_2$ independent, nên ta có hệ
$$\begin{pmatrix}
a+2b=0
\\
a+3b=0
\end{pmatrix}$$
Vì vậy $a=0$ và $b=0$
Nên $S_2 = \left\{ w_1, w_2\right\}$ independent, và là cơ sở của V
Để làm điều đó, thử dùng định nghĩa của independent.
Nếu
$$aw_1 + bw_2=0 $$
$$\Rightarrow au_1 + au_2 + 2bu_1 + 3bu_2=0 \Rightarrow (a+2b)u_1+(a+3b)u_2=0$$
Vì $S_1 = \left \{ u_1, u_2 \right \}$ là cơ sở, nên 2 vector $u_1, u_2$ independent, nên ta có hệ
$$\begin{pmatrix}
a+2b=0
\\
a+3b=0
\end{pmatrix}$$
Vì vậy $a=0$ và $b=0$
Nên $S_2 = \left\{ w_1, w_2\right\}$ independent, và là cơ sở của V
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
