Bài toán: Tính tích phân xác định sau: $$I=\int_{1}^{e}ln^{3}x\left ( \dfrac{x^{2}lnx+2x^{2}+2}{x} \right )dx$$
#2
Đã gửi 31-12-2011 - 09:11
inhtoan
-
- Thành viên
-
- 964 Bài viết
<^_^)
Ta có $I = \int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {\dfrac{{2{{\ln }^3}x}}{x}dx} $
Xét $\int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx } $
Đặt $u = {\ln ^4}x \Rightarrow du = 4\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}dx$
$dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Do đó
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}l{n^4}x}}{2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2{{\ln }^3}xd(\ln x)}$
$ = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \left. {\dfrac{{{{\ln }^4}x}}{2}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{1}{2}.$
Xét $\int\limits_1^e {x{{\ln }^4}xdx } $
Đặt $u = {\ln ^4}x \Rightarrow du = 4\dfrac{{{{\ln }^3}x}}{x}dx$
$dv = xdx \Rightarrow v = \dfrac{{{x^2}}}{2}$
Do đó
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}l{n^4}x}}{2}} \right|_1^e - \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2x{{\ln }^3}xdx + } \int\limits_1^e {2{{\ln }^3}xd(\ln x)}$
$ = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \left. {\dfrac{{{{\ln }^4}x}}{2}} \right|_1^e = \dfrac{{{e^2}}}{2} + \dfrac{1}{2}.$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
