Xét hàm số: $f(x)=\dfrac{1}{x}$ trên đoạn $[n,2n];\;\;n>0$. Ta có:
$f\,'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ nên hàm số $f(x)$ là nghịch biến.
Chia đoạn $[n,2n]$ thành $n$ phần bằng nhau bởi các điểm $x_i=n+i;\;\;i\in\{1,..,n-1\}$.
Dựng các hình chữ nhật $H_i$ liên tiếp bởi các điểm $(x_i,0);\;(x_i,f(x_i));\;(x_i+1,f(x_i));\;(x_i+1,0)\;\;\;\text{với } i=\overline{0,n-1}$
Do $f(x)$ là hàm nghịch biến nên $f(x_i)>f(x_i+1)$
suy ra diện tích của $H_i$ sẽ lớn hơn phần diện tích tạo bởi đồ thị $f(x)$ với trục hoành bởi các đường thẳng $x=x_i$ và $x=x_i+1$
Tổng diện tích các hình chữ nhật $H_i$ là:
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} S(H_i)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+i}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n-1}$$
Tổng diện tích được được tạo bởi đồ thị của $f(x)$ với trục hoành qua các đường thẳng $x=x_i$ và $x=x_i+1$ là
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \int\limits_{n+i}^{n+i+1} \dfrac{1}{x}dx=\int\limits_{n}^{2n} \dfrac{dx}{x}=\ln|x|\left|\begin{matrix}{}^{2n}\\ {}_n\end{matrix}\right.=\ln 2$$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
____________________________________
P/s: Làm biếng vẽ hình quá!