Chủ đề này có 2 trả lời

[huou202]

cho a,b,c>0.Tìm GTNN của :A= $x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{zx})+z(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy})$
Giải theo 3 cách không dùng đạo hàm

[Crystal]

cho a,b,c>0.Tìm GTNN của :A= $x(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})+y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{zx})+z(\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy})$
Giải theo 3 cách không dùng đạo hàm

Em làm bài này. Ta có:
\[P = \sum {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{y}{{2xz}} + \dfrac{z}{{2xy}}} \ge \sum {\dfrac{1}{2}.3\sqrt[3]{{\dfrac{{{x^2}yz}}{{xzxy}}}}} = \dfrac{9}{2}\]
Vậy: $P_{min}=\dfrac{9}{2}$ khi $x=y=z=1$

Ta có: $$P = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{xyz}} \geqslant \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{2} + \dfrac{{xy + yz + zx}}{{xyz}}$$
$$ = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x}} \right) + \left( {\dfrac{{{y^2}}}{2} + \dfrac{1}{y}} \right) + \left( {\dfrac{{{z^2}}}{2} + \dfrac{1}{z}} \right) \geqslant \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x = y = z = 1$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z\Rightarrow (\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{yz})\geq \dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{xz}\geq \dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy}$
Áp dụng BĐT Trê- Bư- Sép 2 bộ dãy đơn điệu tăng (BĐT này khi thi chứng minh lại vẫn có thể sử dụng được)
P$\geq \dfrac{x+y+z}{3}.(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{yz})$
$ \ge \dfrac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \dfrac{{9(x + y + z)}}{{3.\dfrac{{(x + y + z)^2 }}{3}}} = \dfrac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \dfrac{9}{{x + y + z}} $
$= \dfrac{{(x + y + z)^2 }}{6} + \dfrac{9}{{2(x + y + z)}} + \dfrac{9}{{2(x + y + z)}}\mathop \ge \limits^{AM - GM} 3\sqrt[3]{{\dfrac{{(x + y + z)^2 }}{6}.\dfrac{9}{{2(x + y + z)}}.\dfrac{9}{{2(x + y + z)}}}} = \dfrac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Them 1 cách nữa:
P = $\dfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2+\dfrac{x}{yz}+\dfrac{z}{xy}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{x}{yz}+\dfrac{z}{xy}+\dfrac{y}{xz})\geq \dfrac{9}{2}.\sqrt[9]{\dfrac{x^4y^4z^4}{x^4y^4z^4}}=\dfrac{9}{2}$

[T M]

Biến đổi tương đương A$\Leftrightarrow (\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x}{yz})+(\dfrac{y^{2}}{2}+\dfrac{y}{xz})+(\dfrac{z^{2}}{2}+\dfrac{z}{xy})\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(x^{2}+z^{2}+y^{2})+(\dfrac{x^{2}}{xyz}+\dfrac{y^{2}}{xyz}+\dfrac{z^{2}}{xyz})\Leftrightarrow (\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{xyz})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}(1+\dfrac{1}{xyz}+\dfrac{1}{xyz})(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq \dfrac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 07-01-2012 - 12:00