5 replies to this topic

[kelangthang]

Cho abcd=1,a,b,c,d>0
Cm
$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+cd}+\frac{1}{1+d+da}>1$

[T M]

Hình như bài này bị sai đề thì phải. Nếu theo điều kiện thì điểm rơi của bất đẳng thức đạt tại a=b=c=d=1 mà như thế thì Min=$\frac{4}{3}$chứ không phải 1 như đề bài. :|

Edited by luxubuhl, 09-01-2012 - 12:39.

[T M]

Mình trình bày tóm tắt như sau:

$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1+a+ab}{9}\geq\frac{2}{3}$
Đánh giá tương tự cộng các vế ta có:

VT$\geq\frac{8}{3}-\frac{4+(a+b+c+d)+(ab+bc+cd+da)}{9}\geq\frac{8}{3}-\frac{4+4\sqrt[4]{abcd}+4\sqrt[4]{(abcd)^2}}{9}=\frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra <=>a=b=c=d=1

Edited by luxubuhl, 09-01-2012 - 13:02.

[Tham Lang]

Mình trình bày tóm tắt như sau:

$\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1+a+ab}{9}\geq\frac{2}{3}$
Đánh giá tương tự cộng các vế ta có:

VT$\geq\frac{8}{3}-\frac{4+(a+b+c+d)+(ab+bc+cd+da)}{9}\geq\frac{8}{3}-\frac{4+4\sqrt[4]{abcd}+4\sqrt[4]{(abcd)^2}}{9}=\frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra <=>a=b=c=d=1

Sử dụng côsi có âm đâu đúng. Mong bạn xem lại

[T M]

Mình nhầm hì, bài này không có đẳng thức (, bạn có cách khác không?

Edited by luxubuhl, 09-01-2012 - 17:28.

[Tham Lang]

Mình hồi chiều bận nên không post lời giải dc. Mình xin trình bày cách sau :
Đặt : $ a = \dfrac{y}{x}, b = \dfrac{z}{y}, c = \dfrac{t}{z}, d = \dfrac{x}{t} => P = \dfrac{x^2}{x^2 + xy + xz} + \dfrac{y^2}{y^2 + yt + yz} + \dfrac{z^2}{z^2 + tz + xz} + \dfrac{t^2}{t^2 + xt + yt} $ $$\ge \dfrac{(x + y + z + t)^2}{x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zt + xt +2(yt + xz)}$$. Biến đổi tương đương suy ra P > 1
Cái này còn đúng với bộ n số nữa.

Edited by huymit_95, 09-01-2012 - 21:23.