Chủ đề này có 1 trả lời

[linh1261997]

Gọi a,b là 2 nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$
Chứng minh rằng các biểu thức
$P=a+b+a^{3}+b^{3}$
$Q=a^{2}+b^{2}+a^{4}+b^{4}$
$R=a^{2001}+b^{^{2001}}+a^{2003}+b^{2003}$
Là các số nguyên và chia hết cho 5
------------------------------------
Bạn chú ý rút ngắn tiêu đề. Không nên đặt tiêu đề bằng cả bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 19-01-2012 - 15:06
title fixed

[nguyenta98]

Giải như sau:
Chứng minh $1.1$:
Ta thấy $a,b$ là nghiệm của $x^2-x-1=0$ do vậy không mất tổng quát giả sử $a=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2},b=\dfrac{-\sqrt{5}+1}{2}$
Suy ra $a+b=1$ nguyên, $ab=-1$ cũng nguyên <1>
Ta sẽ chứng minh tổng quát $a^x+b^x$ sẽ nguyên bằng quy nạp toán học
Thật vậy ta có
Thử $x=1$ thì rõ ràng đúng (do <1>)
Giả sử $x=k-1$ và $x=k$ đúng hay $a^{k-1}+b^{k-1}$ và $a^k+b^k$ nguyên <2>
Ta sẽ chứng minh $x=k+1$ cũng đúng hay $a^{k+1}+b^{k+1}$ nguyên
Thật vậy từ <1> và <2> suy ra $(a^k+b^k)(a+b)$ nguyên hay $a^{k+1}+b^{k+1}+ab(a^{k-1}+b^{k-1})$ nguyên
Lại có $ab, a^{k-1}+b^{k-1}$ nguyên do vậy ta có $a^{k+1}+b^{k+1}$ nguyên
Do vậy giả thết quy nạp là đúng hay ta có $a^x+b^x$ nguyên $đpcm$

$*************$

Lắp vào đề bài ta có $a,b,a^2,b^2,a^3,b^3,a^4,b^4,a^{2001},b^{2001},a^{2003},b^{2003}$ đều nguyên hay $P,Q,R$ đều nguyên $đpcm$ $<*>$

$*************$

Chứng minh $1.2$
Tiếp tục ta sẽ chứng minh $a^m+b^m+a^{m+2}+b^{m+2}$ chia hết cho $5$ bằng quy nạp toán học
Thử $a+b+a^3+b^3$ chia hết cho $5$ (cái này tính tay cũng ra)
Giả sử $m=k-1$ và $m=k$ đúng hay $a^{k-1}+b^{k-1}+a^{k+1}+b^{k+1}$ và $a^k+b^k+a^{k+2}+b^{k+2}$ chia hết cho $5$ <3>
Ta sẽ chứng minh $m=k+1$ cũng đúng hay $a^{k+1}+b^{k+1}+a^{k+3}+b^{k+3}$ chia hết cho $5$
Thật vậy ta có:
Từ <3> suy ra $(a+b)(a^k+b^k+a^{k+2}+b^{k+2})$ chia hết cho $5$ (do $a+b$ nguyên và đã giả sử $a^k+b^k+a^{k+2}+b^{k+2}$ chia hết cho $5$)
Suy ra $a^{k+1}+b^{k+1}+a^{k+3}+b^{k+3}+ab(a^{k-1}+b^{k-1}+a^{k+1}+b^{k+1})$ chia hết cho $5$
Lại có $ab(a^{k-1}+b^{k-1}+a^{k+1}+b^{k+1})$ chia hết cho $5$ do $ab$ nguyên, $a^{k-1}+b^{k-1}+a^{k+1}+b^{k+1}$ chia hết cho $5$
Suy ra $a^{k+1}+b^{k+1}+a^{k+3}+b^{k+3}$ chia hết cho $5$ $đpcm$

$**************$

Lắp vào đề bài thấy $P,Q,R$ đều có dạng như cái chứng minh $1.2$ suy ra $P,Q,R$ chia hết cho $5$ $<**>$
Kết hợp $<*>,<**>$ suy ra $đpcm$

P/S: Bài này còn có cách khác là tính trực tiếp nhưng nó không thừa kế cho trường hợp tổng quát, ở đây mình chứng minh tổng quát luôn, điều kiên cần và đủ của bài chỉ là $a+b,ab$ nguyên là ok! Ngoài ra cũng nói thêm bài này có thể dùng khai triển Newton để chứng minh bắng cách phá ra sau đó xuất hiện các thừa số $C$ nhưng rất khó khăn, trong bài mình chỉ dùng duy nhất kiến thức quy nạp!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-01-2012 - 15:47