Chủ đề này có 4 trả lời

[dinhka]

Giúp mình với, cảm ơn nhiều !
$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1-cos(x).\sqrt{cos(2x)}}{x^2}}$

[Crystal]

Giúp mình với, cảm ơn nhiều !
$\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{1-cos(x).\sqrt{cos(2x)}}{x^2}}$

Ta có: $$1 - cosx\sqrt {cos2x} = \left( {1 - \cos x} \right) + \left( {\cos x - \cos x\sqrt {\cos 2x} } \right) = \left( {1 - \cos x} \right) + \cos x\left( {1 - \sqrt {\cos 2x} } \right)$$
Suy ra: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - cosx\sqrt {cos2x} }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} + \cos x\frac{{1 - \sqrt {\cos 2x} }}{{{x^2}}}} \right)$$
$$ = \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}}}_L + \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x\frac{{1 - \sqrt {\cos 2x} }}{{{x^2}}}}_K$$
Lại có: $$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{2.\frac{{{x^2}}}{4}}} = \frac{1}{2}$$
$$K = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x\frac{{1 - \sqrt {\cos 2x} }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos 2x}}{{{x^2}\left( {1 + \sqrt {\cos 2x} } \right)}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1$$
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - cosx\sqrt {cos2x} }}{{{x^2}}} = \frac{1}{2} + 1 = \boxed{\frac{3}{2}}$$

[Crystal]

Bạn có thể tham khảo bài toán tổng quát $$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-cosxcos2xcos3x...cosnx}{x^{2}},\; \forall n\in \mathbb{N}^{*}$$ và một số bài toán giới hạn khác ở đây.

[dinhka]

uk, mình cảm ơn bạn nhiều, có nhiều bài hay quá

[Crystal]

Bài toán tổng quát:
Tìm giới hạn: $$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\sqrt {\cos 2x} \sqrt[3]{{\cos 3x}}...\sqrt[k]{{\cos kx}}}}{{{x^2}}}$$