Chủ đề này có 1 trả lời

[banhbaocua1]

Cho tam giác ABC nhọn AA1,BB1,CC1 là đường cao tương ứng với cạnh BC,AC,AB , chúng cắt nhau tại H. D đối xứng với H qua AC.CMR:
a) AC.BD=AB.CD+AD.BC
b)* Gọi R , r là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
CMR: $\frac{1}{AA1}+\frac{1}{BB1}+\frac{1}{CC1}=\frac{1}{r}$ và $\frac{AA2}{AA1}+\frac{BB2}{BB1}+\frac{CC2}{CC1} \leq 1+\frac{R}{r}$ trong đó A2,B2,C2 là trung điểm BC , AC,AB

[dark templar]

Cho tam giác ABC nhọn AA1,BB1,CC1 là đường cao tương ứng với cạnh BC,AC,AB , chúng cắt nhau tại H. D đối xứng với H qua AC.CMR:
a) AC.BD=AB.CD+AD.BC
b)* Gọi R , r là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC
CMR: $\frac{1}{AA1}+\frac{1}{BB1}+\frac{1}{CC1}=\frac{1}{r}$ và $\frac{AA2}{AA1}+\frac{BB2}{BB1}+\frac{CC2}{CC1} \leq 1+\frac{R}{r}$ trong đó A2,B2,C2 là trung điểm BC , AC,AB

Câu a là nội dụng của định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp
Câu b:Ký hiệu $m_{a}=AA_2;m_{b}=BB_2;m_{c}=CC_2;h_{a}=AA_1;h_{b}=BB_1;h_{c}=CC_1$.Cần chứng minh:
$$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}(1)$$
$$\frac{m_{a}}{h_{a}}+\frac{m_{b}}{h_{b}}+\frac{m_{c}}{h_{c}} \le 1+\frac{R}{r}(2)$$
Với (1),ta sử dụng các công thức quen thuộc sau:$2S=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=(a+b+c)r$.Ta có:
$$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{1}{r}$$
Với (2),ta gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Ta có:
$$m_{a} \le OA+OA_1 \Rightarrow \frac{m_{a}}{h_{a}} \le \frac{R}{h_{a}}+\frac{OA_1}{h_{a}}$$
Suy ra:
$$\frac{m_{a}}{h_{a}}+\frac{m_{b}}{h_{b}}+\frac{m_{c}}{h_{c}} \le R\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}} \right)+\frac{OA_1}{h_{a}}+\frac{OA_2}{h_{b}}+\frac{OA_3}{h_{c}}$$
Dễ dàng thấy:
$$\frac{OA_1}{h_{a}}+\frac{OA_2}{h_{b}}+\frac{OA_3}{h_{c}}=\frac{a.OA_1}{ah_{a}}+\frac{b.OA_2}{bh_{b}}+\frac{c.OA_3}{ch_{c}}=\frac{2S_{OBC}+2S_{OCA}+2S_{OAB}}{2S}=1$$
Kết hợp với (1),ta có:
$$\frac{m_{a}}{h_{a}}+\frac{m_{b}}{h_{b}}+\frac{m_{c}}{h_{c}} \le 1+\frac{R}{r}(2)$$
Xong.Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
P/s:Lâu rồi không làm Hình phẳng