Chủ đề này có 1 trả lời

[BumPuPu]

$y = x^3 - 3mx^2 + 4m^3, \ \ \ (1)$
1. tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
2. tìm các giá trị m để đường thẳng y = x cắt đồ thị của hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC

[E. Galois]

Ta có:
$$y'=3x^2-6mx;y'=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\x=2m\end{matrix}\right.$$
Hàm số $(1)$ có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với:
$$m \neq 0, \ \ \ \ (2)$$
Với điều kiện $(2)$, hàm số có các điểm cực trị là $(0;4m^3), (2m;0)$. Yêu cầu của bài toán tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}
2m-4m^3=0\\ -m+2m^3=0

\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}
m=0\\m=\pm \dfrac{\sqrt2}{2}

\end{matrix}\right.$$
Kết hợp với điều kiện ta có $m=\pm \dfrac{\sqrt2}{2} $ là nghiệm của bài toán