Chủ đề này có 3 trả lời

[Takitori Chishikato]

Chứng minh rằng:
$(abc+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}) \geq a+b+c+6 \forall a,b,c > 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takitori Chishikato: 01-02-2012 - 21:56

[phuc_90]

Ta chứng minh BĐT mạnh hơn sau

$(abc+1)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right) \geq 3(a+b+c)+9$

Ta có $LSH=\left(ab+bc+ca+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)$

$=(ca+bc+ab)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)$

$\geq (a+b+c)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)$

$\geq 6(a+b+c)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)-9$

$\geq 3(a+b+c)+2 \sqrt{3(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)}-9$

$\geq 3(a+b+c)+9$ ( đpcm )

[Crystal]

Chứng minh rằng:
$(abc+1)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}) \geq a+b+c+6 \forall a,b,c > 0 $

Chứng minh bất đẳng thức này.

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\[VT = \left( {ab + \frac{b}{a}} \right) + \left( {bc + \frac{c}{b}} \right) + \left( {ca + \frac{a}{c}} \right) + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 2a + 2b + 2c + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\]
\[ = a + b + c + \left( {a + \frac{1}{a}} \right) + \left( {b + \frac{1}{b}} \right) + \left( {c + \frac{1}{c}} \right) \ge a + b + c + 6 \Rightarrow Q.E.D\]

[phuongnamz10A2]

Sao lai thế mình không hiểu điểm rơi của bài này la bao nhiêu, a=b=c đâu có đúng.