Chủ đề này có 3 trả lời

[Silentwind Er]

B1:
Tìm đa thức P(x) biết :
(x-1)P(x+1) - (x+2).P(x)=0 (với mọi $x\epsilon Z$)
B2:
Tìm phần dư khi chia P(x)=$x+x^{3}+x^{9}+x^{27}+x^{81}+x^{243}$ cho đa thức :
a) x-1
b) $x^{2}$ -1
B3:
Khi khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng của P(x)=$(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000})$ ta có thể viết P(x) dưới dạng
P(x)= $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4000}x^{4000}$
Tính $a_{2004} , a_{2005}$
B4:
CMR với mọi $n\epsilon Z,$, đa thức P(x)= $(x+1)^{2n+1}+x^{n+2}$ chia hết cho $x^{2}+x+1$.

[nguyenta98]

Giải như sau:
Bài 1: Từ đề suy ra $(x-1)P(x+1)=(x+2)P(x)$ <*>
Thay $x=1$ suy ra $VT=0=3P(1)$ suy ra $P(1)=0$ <1>
Thay $x=0$ theo <1> suy ra $VT=0=2P(0) \rightarrow P(0)=0$<2>
Thay $x=-1$ theo <2> suy ra $VT=0=P(-1) \rightarrow P(-1)=0$ <3>
Từ <1><2><3> suy ra $-1,1,0$ là nghiệm của $P(x)$
Do vậy $P(x)=(x-1)x(x+1)Q(x)$ thay vào <*> suy ra $Q(x+1)=Q(x)$ thay $x=1,2,3...$ đều đúng do vậy $P(x)=(x-1)x(x+1)k=(x^3-x)k$ với $k$ tùy ý

Bài 2:
a)Theo định lý $Bézout$ (bơ-du)
$P(x)=(x-1)Q(x)+R(x) \rightarrow R(x)=P(1)=6$ do vậy đáp số câu a là $6$
b) Theo định lý Bơ du (giống trên)
$P(x)=(x^2-1)Q(x)+R(x)=(x-1)(x+1)Q(x)+R(x) \rightarrow R(x)=P(-1)=-6$ <1> gọi $R(x)=k$ ($k$ bậc 0 hoặc 1 do phải có bậc bé hơn $x^2-1$)
Theo câu a $P(x)$ chia $x-1$ dư 6 <2>
Th1: $R(x)$ bậc 0 và theo <2> suy ra $R(x)=6$ nhưng lại ko chia $(x+1)$ dư $-6$ nên loại
Th2: $R(x)$ bậc 1 nên $R(x)=ax+b$ và từ <1> <2> suy ra $R(1)=a+b=6$ và $R(-1)=b-a=-6$ nên suy ra $b=0,a=6$
Vậy $P(x)$ chia $x^2-1$ dư $6x$

Bài 3: có khá nhiều cách nhưng mình chỉ đề cập cách hay và dễ nhất
Ta thấy ở nhóm $(1-x+x^2-x^3+...+x^{2000})$ cách số mũ chẵn đều có dâu $+$ lẻ có dấu $-$
Thấy $a_{2004}$ tương ứng $x^{2004}$
$2004=4+2000=5+1999=...=2000+4$
$x^4 \rightarrow x^{2000} \rightarrow x^{2004}$
$-x^5 \rightarrow x^{1999} \rightarrow -x^{2004}$
$...............$
$x^{2000} \rightarrow x^{4} \rightarrow x^{2004}$
Giờ làm phép công với tất cả kết quả trên thấy bắt đầu là $x^{2004}$ kết thúc là $x^{2004}$ nên số số $x^{2004}$ lớn hơn số số $-x^{2004}$
Do vậy $a_{2004}=1+-1+..+1=1$
Vậy $\boxed{a_{2004}}=1$ tương tự $\boxed{a_{2005}}=0$
P/S bài này còn có cách quy nạp toán học, bạn có thể quy nạp đơn lẻ bằng cách lên $wolfram alpha$

Bài 4: Ta thấy $(x+1)^{2n+1}=(x^2+2x+1)^n.(x+1)$
Nhận thấy $x^2+2x+1$ chia $x^2+x+1$ dư $x$ do đó $(x+1)^{2n+1}$ chia $x^2+x+1$ có dư là $x^n*(x+1)$
Lại thấy $x^n.(n+1)+x^{n+2}=x^n(x^2+n+1)$ chia hết cho $x^2+x+1 \rightarrow Q.E.D$

P/S Phương pháp chung là vậy có j thắc mắc bạn cứ nhắn tin cho mình qua nick nguyenta98

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-02-2012 - 23:54

[tieulyly1995]

B3:
Khi khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng của P(x)=$(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000})$ ta có thể viết P(x) dưới dạng
P(x)= $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4000}x^{4000}$
Tính $a_{2004} , a_{2005}$

đặt$ f(x)= 1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000}$
$g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000}$
Để có $x^{2005}$ của P(x) thì một hạng tử $x^{k}, (o\leq k\leq 2000)$ của f(x) phải nhân với hạng tử $x^{n}, (0\leq n\leq 2000)$ của g(x) sao cho
$n+k=2005$
suy ra
- nếu $k=0$ thì $n=2005$( loại, vì $n\leq 2000$)
-nếu $k=1$ thì $n=2004$(loại)
...
-nếu $k=5$ thì $n=2000$(thỏa mãn)
-nếu $k=6$ thì $n=1999$
-nếu $k=7 $thì $n=1998$
........................................
-nếu $k=2000$ thì n=5$
vậy
$a_{2004}.x^{2004}=(x^{4}x^{2000}-x^{5}x^{1999}+x^{6}x^{1998}-...)$
$a_{2004}.x^{2004}=(1-1+1-...)$
Trong dãy số 5,6,...1999,2000 có số các số lẻ = số các số chẵn.
Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số$= -1$
Các hạng tử với số mũ chẵn có hệ số $=1$
Nên $a_{2005}.x^{2005}=0$
$\Rightarrow a_{2005}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 01-02-2012 - 23:37

[nthoangcute]

mình sửa hộ bạn cái $L^AT_EX$
______________________________________________________________________
đặt$ f(x)= 1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000}$
$g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000}$
Để có $x^{2005}$ của P(x) thì một hạng tử $x^{k}$, ($0\leq k\leq 2000)$ của f(x) phải nhân với hạng tử $x^{n}$, ($0\leq n\leq 2000)$ của g(x) sao cho
$n+k=2005$
suy ra
- nếu $k=0$ thì $n=2005$( loại, vì $n\leq 2000$)
-nếu $k=1$ thì $n=2004$(loại)
...
-nếu $k=5$ thì $n=2000$(thỏa mãn)
-nếu $k=6$ thì $n=1999$
-nếu $k=7$ thì $n=1998$
........................................
-nếu $k=2000$ thì $n=5$
vậy
$a_{2004}.x^{2004}=(x^{4}x^{2000}-x^{5}x^{1999}+x^{6}x^{1998}-...)$
$a_{2004}.x^{2004}=(1-1+1-...)$
Trong dãy số 5,6,...1999,2000 có số các số lẻ = số các số chẵn.
Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số$= -1$
Các hạng tử với số mũ chẵn có hệ số $=1$
Nên $a_{2005}.x^{2005}=0$
$\Rightarrow a_{2005}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-03-2012 - 22:31