ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Năm học:2011-2012
Thời gian làm bài: 90 phút
Đề bài:
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số: $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © của hàm số
2. Cho M là điểm bất kì trên ©. Tiếp tuyến của © tại M cắt các đường tiệm cận của © tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II: (4 điểm)
1. Giải phương trình:
$16{\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 4\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} - 2\sin 4x$
2. Giải phương trình: $\sqrt {4x + 5} + \sqrt {6x + 10} = {x^2} + 2x + 4$3. Tính tích phân: $I = \int\limits_1^5 {\frac{{{x^2} + 1}}{{x\sqrt {3x + 1} }}dx} $
Câu III: (4 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $A\left( {2; - 3} \right)$, $B\left( {3; - 2} \right)$, ${S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{2}$, trọng tâm G của $\Delta ABC$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):3x - y - 8 = 0$. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2. Trong $\left( P \right)$ cho đường tròn $\left( C \right)$ đường kính AB = 2R. Đoạn thẳng SA = 2R vuông góc $\left( P \right)$. Điểm M di động trên $\left( C \right)$. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SB. Tính thể tính hình chóp S.AMB, khi tam giác AHK có diện tích lớn nhất.
3. Cho 3 số $x,y,z \in \left[ {1;2} \right]$. Chứng minh rằng: $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le 10$