Chủ đề này có 2 trả lời

[khanh3570883]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Năm học:2011-2012

Thời gian làm bài: 90 phút

Đề bài:
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số: $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị © của hàm số
2. Cho M là điểm bất kì trên ©. Tiếp tuyến của © tại M cắt các đường tiệm cận của © tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II: (4 điểm)
1. Giải phương trình:

$16{\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 4\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} - 2\sin 4x$

2. Giải phương trình: $\sqrt {4x + 5} + \sqrt {6x + 10} = {x^2} + 2x + 4$
3. Tính tích phân: $I = \int\limits_1^5 {\frac{{{x^2} + 1}}{{x\sqrt {3x + 1} }}dx} $
Câu III: (4 điểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $A\left( {2; - 3} \right)$, $B\left( {3; - 2} \right)$, ${S_{\Delta ABC}} = \frac{3}{2}$, trọng tâm G của $\Delta ABC$ thuộc đường thẳng $\left( d \right):3x - y - 8 = 0$. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
2. Trong $\left( P \right)$ cho đường tròn $\left( C \right)$ đường kính AB = 2R. Đoạn thẳng SA = 2R vuông góc $\left( P \right)$. Điểm M di động trên $\left( C \right)$. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SB. Tính thể tính hình chóp S.AMB, khi tam giác AHK có diện tích lớn nhất.
3. Cho 3 số $x,y,z \in \left[ {1;2} \right]$. Chứng minh rằng: $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le 10$

[phuonganh_lms]

2. Giải phương trình: $\sqrt {4x + 5} + \sqrt {6x + 10} = {x^2} + 2x + 4$
3. Cho 3 số $x,y,z \in \left[ {1;2} \right]$. Chứng minh rằng: $\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le 10$

2. $\sqrt {4x + 5} + \sqrt {6x + 10} = {x^2} + 2x + 4$
$\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}-1)+(\sqrt{6x+10}-2)-(x^2+2x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x+1).(\dfrac{1}{\sqrt{4x+5}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{6x+10}+2}-x-1)=0$
Xét $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4x+5}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{6x+10}+2}-x-1$
$f(x)'=-(\dfrac{2}{\sqrt{4x+5}(\sqrt{4x+5}+1)^2}+\dfrac{3}{\sqrt{6x+10}.(\sqrt{6x+10}+2)^2}+1)<0$
Vậy pt có nghiệm $x=-1$
3.
Bđt $\Leftrightarrow 3+\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y} \le 10$
$\Leftrightarrow \dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y} \le 7$
Bđt trên cm giống như bđt trong đề thi thử đh số 2 của VMF.

[phuonganh_lms]

Câu II: (4 điểm)
1. Giải phương trình:
$16{\cos ^4}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 4\frac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} - 2\sin 4x$

ĐK: $cos x \not\equiv 0$
Pt $\Leftrightarrow 4(1-sin 2x)^2=4cos 2x-4.sin 2x.cos 2x$
$\Leftrightarrow 4(1-sin 2x)(1-sin 2x-4cos 2x)=0$
Đến đây dễ dàng tìm được nghiệm.