Chủ đề này có 1 trả lời

[uyenphuong94]

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên AB sao cho AM=x (0<x<a) mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N . Tính x theo a để thể tích khối đa diện MBNC'A'B' bằng $\frac{1}{3}$ thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'

[letjteo]

${V_{MBNC'A'B'}} = {1 \over 3}{V_{ABCDA'B'C'D'}} = {2 \over 3}{V_{ABCA'B'C'}} \Rightarrow {V_{A'C'CAMN}} = {1 \over 3}{V_{ABCA'B'C'}}$
Mà ${V_{A'C'CAMN}} = {V_{A'.AMN}} + {V_{N.A'C'CA}} \Rightarrow {V_{A'.AMN}} + {V_{N.A'C'CA}} = {1 \over 3}{V_{ABCA'B'C'}}$

Ta có ${V_{A'.AMN}} = {1 \over 3}AA'.{S_{AMN}} = {1 \over 3}AA'.{1 \over 2}AM.BN = {1 \over 6}ax(a - x)$

${{NG} \over {AB}} = {{NC} \over {AC}} \Rightarrow NG = {{NC.AB} \over {AC}} = {{xa} \over {a\sqrt 2 }} = {x \over {\sqrt 2 }}$

${V_{N.A'C'CA}} = {1 \over 3}NG.{S_{A'C'CA}} = {1 \over 3}.NG.AA'.AC = {1 \over 3}.{x \over {\sqrt 2 }}.a.a\sqrt 2 = {1 \over 3}{a^2}x$

${V_{ABCA'B'C'}} = {1 \over 2}{V_{ABCDA'B'C'D'}} = {1 \over 2}{a^3}$

Vậy ${V_{A'.AMN}} + {V_{N.A'C'CA}} = {1 \over 3}{V_{ABCA'B'C'}} \Leftrightarrow {1 \over 6}ax(a - x) + {1 \over 3}{a^2}x = {1 \over 6}{a^3}$

Ta giải phương trình này

$\eqalign{ & \Rightarrow x(a - x) + 2ax = {a^2} \Leftrightarrow ax - {x^2} + 2ax = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} - 3ax + {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x.{3 \over 2}a + {\left( {{3 \over 2}a} \right)^2} - {\left( {{3 \over 2}a} \right)^2} + {a^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}a} \right)^2} = {5 \over 4}{a^2} \cr} $

Do $x < a \Rightarrow x < {3 \over 2}a \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - {3 \over 2}a} \right)}^2}} = {3 \over 2}a - x$
Nên $ \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}a} \right)^2} = {5 \over 4}{a^2} \Leftrightarrow {3 \over 2}a - x = {{\sqrt 5 } \over 2}a \Leftrightarrow x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letjteo: 02-04-2012 - 20:24