Chủ đề này có 6 trả lời

[Trần Đức Anh @@]

Tính tổng $1+x+2x^2+...+nx^n$

[hxthanh]

$f(x)=1+x+2x^2+...+nx^n$

$f(1)=1+1+2+...+n=\dfrac{n^2+n+2}{2}$

Với: $ x \ne 1$, ta có:

$f(x)=\dfrac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x^2-x+1}{(x-1)^2}$

(CM bằng quy nạp)

[Trần Đức Anh @@]

Thầy có thể cho em biết lôi cái công thức này ở đâu ra không ạ, hay thầy dùng sai phân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 14-02-2012 - 17:58

[Le Quoc Tung]

Một cách giải khác là nhóm các hạng tử với nhau theo cặp:
1+x+x^2+.......x^n
x+x^2+...x^n
....
x^n
Từ đây ta tính tổng các cặp, cộng lại là xong ( biến đổi ra cũng được như trên)

[Trần Đức Anh @@]

Một cách giải khác là nhóm các hạng tử với nhau theo cặp:
1+x+x^2+.......x^n
x+x^2+...x^n
....
x^n
Từ đây ta tính tổng các cặp, cộng lại là xong ( biến đổi ra cũng được như trên)

Ai cũng biết cách nông dân này, bạn có thể post cách giải hay hơn không?

[hoangquan9x]

Tính tổng $1+x+2x^2+...+nx^n$

Cách 2: Đặt S=$1+x+2x^2+...+nx^n$ (*)
suy ra $\frac{S}{x}=\frac{1}{x}+1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}$ (**)
lấy (**)-(*) ta được $S.\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}+(x+x^2+...+x^{n-1})-nx^{n}$
$\Rightarrow S.\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-nx^n+\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$
$\Rightarrow S=\frac{nx^{n+2}-(n-1)x^{n+1}+x^2-x+1}{(x-1)^2}$

[Le Quoc Tung]

Đại khái bài này có lẽ phải xét thêm điều kiện x =1 chứ như cái tổng tính ra thì không xác định được.