Cho a,b,c thực . Cm
$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c-a)^{2}} > 5/2$
$\frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{b^{2}+c^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{c^{2}+a^{2}}{(c-a)^{2}} > 5/2$
Bắt đầu bởi phanphungtan, 17-02-2012 - 09:28
#2
Đã gửi 18-02-2012 - 22:05
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Bài này cũng không phải là một bài dễ thở.
Gọi $P$ là vế trái.Lúc đó :
$$2P - 3 = \left (\dfrac{2(a^2 + b^2)}{(a - b)^2} - 1 \right ) + \left (\dfrac{2(b^2 + c^2)}{(b - c)^2}- 1 \right ) + \left (\dfrac{2(c^2 + a^2)}{(c - a)^2} \right ) = \dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2} + \dfrac{(b + c)^2}{(b - c)^2} + \dfrac{(c + a)^2}{(c - a)^2} $$
Đặt $x = \dfrac{a + b}{a - b}, y = \dfrac{b + c}{b - c} , z = \dfrac{c + a}{c - a}$
Dễ dàng chứng minh được $xy + yz + zx = -1$ mà $(x + y + z)^2\ge 0$ nên
$$2P - 3 = x^2 + y^2 + z^2 \ge -2(xy + yz + zx) = 2 \Leftrightarrow 2P \ge 5 \Leftrightarrow P \ge \dfrac{5}{2}$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Mình nghĩ, bạn nên sửa lại đề, dấu = cũng xảy ra mà.
Gọi $P$ là vế trái.Lúc đó :
$$2P - 3 = \left (\dfrac{2(a^2 + b^2)}{(a - b)^2} - 1 \right ) + \left (\dfrac{2(b^2 + c^2)}{(b - c)^2}- 1 \right ) + \left (\dfrac{2(c^2 + a^2)}{(c - a)^2} \right ) = \dfrac{(a + b)^2}{(a - b)^2} + \dfrac{(b + c)^2}{(b - c)^2} + \dfrac{(c + a)^2}{(c - a)^2} $$
Đặt $x = \dfrac{a + b}{a - b}, y = \dfrac{b + c}{b - c} , z = \dfrac{c + a}{c - a}$
Dễ dàng chứng minh được $xy + yz + zx = -1$ mà $(x + y + z)^2\ge 0$ nên
$$2P - 3 = x^2 + y^2 + z^2 \ge -2(xy + yz + zx) = 2 \Leftrightarrow 2P \ge 5 \Leftrightarrow P \ge \dfrac{5}{2}$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Mình nghĩ, bạn nên sửa lại đề, dấu = cũng xảy ra mà.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 18-02-2012 - 22:45
- Ispectorgadget và Zaraki thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
