Chủ đề này có 1 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 1: Cho ba điểm cố định A, B , C thẳng hành (theo thứ tự đó). Một đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C. Từ điểm A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, MN cắt AO và AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng M, N di động trên một đường tròn cố định khi (O) thay đổi.
b) NI cắt (O) tại P. Chứng minh rằng MP//BC.
c) CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định khi (O) thay đổi.
d) Biết $\widehat{MON}=2\alpha$. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác AMN theo $\alpha$ và bán kính R của (O).
e) CMR MN luon đi qua 1 điểm cố định.

[perfectstrong]

Lời giải:
a) Ta có: $AM^2=AN^2=AB.AC:const \Rightarrow $ M,N chạy trên đường tròn tâm A, bán kính $R=\sqrt{AB.AC}$
b) Dễ thấy A,M,O,I,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO
$\Rightarrow \angle AIN=\angle AON=\dfrac{1}{2}\angle MON=\angle MPN \Rightarrow MP \parallel BC$
c) OHKI là tgnt $\Rightarrow AK.AI=AH.AO=AB.AC \Rightarrow AK=\dfrac{AB.AC}{AI}:const \Rightarrow$ K cố định.
Do đó, đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle OHK$ luôn đi qua K,I cố định.
d)
\[\begin{array}{l}
0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \tan \alpha > 0 \\
MH = R.\sin \alpha \Rightarrow MN = 2R.\sin \alpha \\
MA = R.\tan \alpha \\
AH = MA.\sin \alpha = R.\tan \alpha .\sin \alpha \\
{r_\vartriangle {AMP}} = \frac{{2{S_{AMN}}}}{{AM + AN + MN}} = \frac{{AH.MN}}{{2AM + MN}} = \frac{{2{R^2}\tan \alpha .{{\sin }^2}a}}{{2R.\tan \alpha + 2R.\sin \alpha }} = R\left( {1 - \cos \alpha } \right) \\
\end{array}\]
e) MN luôn qua K cố định.