Chủ đề này có 5 trả lời

[girl_lovely]

$\int_{2}^{3}\sqrt{9-x^2}$
mình tính bài này bằng cách đặt x=asint nhưng ra lẻ quá .Mọi người giúp mình với .thanks ..

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi girl_lovely: 21-02-2012 - 19:11

[Crystal]

$\int_{2}^{3}\sqrt{9-x^2}$
mình tính bài này bằng cách đặt x=asint nhưng ra lẻ quá .Mọi người giúp mình với .thanks ..

Phương pháp của bạn đã đúng còn kết quả ra lẻ thì chịu thôi bạn à. Có phải bài toán nào cũng cho kết quả đẹp như ta nghĩ đâu.

[lethanhtam_dt]

Tính $I= \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln(x)dx}{x + 1}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhtam_dt: 01-03-2012 - 16:23

[Crystal]

Tính $I= \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln(x)dx}{x + 1}} $

Bài này dùng tích phân từng phần ta sẽ thu được một tích phân không có nguyên hàm sơ cấp.

Mình giải như sau:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \frac{{dx}}{{1 + x}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \ln \left( {1 + x} \right)
\end{array} \right.$. Khi đó:
$$I = \left. {\ln x\ln \left( {1 + x} \right)} \right|_1^e - \int\limits_1^e {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}} dx$$
Tính tích phân: $\int\limits_1^e {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}} dx$

Bài toán: Tính tích phân $$I = \int {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}} dx$$
Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}$ không có nguyên hàm là hàm sơ cấp nên ta phải sử dụng đến khai triển của chuỗi để giải.
Đặt $x = - u \Rightarrow dx = - du$, khi đó:
$$I = \int {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}} dx = - \int {\frac{{\ln \left( {1 - u} \right)}}{u}du = - \int {\frac{1}{u}\left( {u + \frac{{{u^2}}}{2} + \frac{{{u^3}}}{3} + ...+ \frac{{{u^n}}}{n}}+... \right)du} } $$
$$ = - \int {\left( {1 + \frac{u}{2} + \frac{{{u^2}}}{3} + ...\frac{{{u^{n - 1}}}}{n}}+... \right)du} = - \left( {u + \frac{{{u^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{u^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{u^n}}}{{{n^2}}}}+...\right) + C$$
Từ đó, ta có một kết quả sau:
$$I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x}dx = } 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} +...= \zeta \left( 2 \right) = \boxed{\dfrac{{{\pi ^2}}}{6}}$$
$\zeta \left( 2 \right) = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}+... = \dfrac{{{\pi ^2}}}{6}$ chính là hàm $Zeta$ cấp $2$. Có thể xem chi tiết tại đây.

[deadroot]

minh` thấy bài này nên dung` hình vẽ để giải
bởi đồ thị hs nay` la 1/2 đường tròn tâm O bán kính 3

[thuanhoang1712]

minh` thấy bài này nên dung` hình vẽ để giải
bởi đồ thị hs nay` la 1/2 đường tròn tâm O bán kính 3

dung hinh ve la sao? co the lam mau cho minh xem dc k?