Chủ đề này có 1 trả lời

[superstar9xx95]

cho dãy số ($u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=2012$;$u_{n+1}=u_{n}^{2}+(1-2a)u_{n}+a^{2}$,$\forall n\geq 1$
tìm a để ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn

[Crystal]

cho dãy số ($u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=2012$;$u_{n+1}=u_{n}^{2}+(1-2a)u_{n}+a^{2}$,$\forall n\geq 1$
tìm a để ($u_{n}$) có giới hạn hữu hạn

Ta có: $u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}-a)^{2}\geqslant 0\Rightarrow u_{n+1}\geqslant u_{n},\forall n\geqslant 1$, suy ra dãy $\left \{ u_{n} \right \}$ không giảm.

Do đo dãy $\left \{ u_{n} \right \}$ hội tụ (có giới hạn hữu hạn) khi và chỉ khi $\left \{ u_{n} \right \}$ bị chặn trên.

Giả sử $\left \{ u_{n} \right \}$ hội tụ, $L=\lim_{n \to \infty }u_{n}$. Khi đó $L=L^{2}+(1-2a)L+a^{2}\Rightarrow L=a$

Do $\left \{ u_{n} \right \}$ không giảm, $\lim_{n \to \infty }u_{n}=a$ nên $u_{n}\leqslant a,\forall n\geqslant 1$

Suy ra $$u_{2}\leqslant 2\Leftrightarrow u_{1}^{2}+(1-2a)u_{1}+a^{2}\leqslant a$$
$$\Leftrightarrow (u_{1}-a+1)(u_{1}-a)\leqslant 0\Leftrightarrow a-1\leqslant u_{1}=2012\leqslant a$$
Mặt khác $\left \{ u_{n} \right \}$ không giảm nên $u_{2}\geqslant u_{1}\geqslant a-1\Rightarrow a-1\leqslant u_{2}\leqslant a$

Bằng quy nạp, ta có: $$a-1\leqslant u_{n}\leqslant a,\forall n\geqslant 1$$
Dãy $\left \{ u_{n} \right \}$ không giảm, bị chặn trên bởi $a$ nên hội tụ.

Vậy giá trị của $a$ cần tìm là $a-1\leqslant 2012\leqslant a$