Chủ đề này có 2 trả lời

[Crystal]

Bài toán: Tính tổng $$\sum\limits_{n \ge 0} {{3^n}{{\sin }^3}\left( {\frac{x}{{{3^n}}}} \right)} $$

[hoangquan9x]

Bài toán: Tính tổng $$S=\sum\limits_{n \ge 0} {{3^n}{{\sin }^3}\left( {\frac{x}{{{3^n}}}} \right)} $$

Mình xin giải bài toán này như sau (có chô nào không đúng mong các bạn góp ý) :
ta có :$sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}$
Suy ra $3^nsin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
Áp dụng với n= 0,1,2,3,4……n ta được:
$S=\frac{3sinx-sin3x}{4}+3.\frac{3sin\frac{x}{3}-sinx}{4}+3^2.\frac{sin\frac{x}{3^2}-sin\frac{x}{3}}{4}+...+3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
$= \frac{-sin3x}{4}+\frac{3^{n+1}.sin\frac{x}{3^{n}}}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangquan9x: 24-02-2012 - 13:59

[fghost]

Mình xin giải bài toán này như sau (có chô nào không đúng mong các bạn góp ý) :
ta có :$sin^3a=\frac{3sina-sin3a}{4}$
Suy ra $3^nsin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
Áp dụng với n= 1,2,3,4……n ta được:
$S=3.\frac{3sin\frac{x}{3}-sinx}{4}+3^2.\frac{sin\frac{x}{3^2}-sin\frac{x}{3}}{4}+...+3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$
$= \frac{-3sinx}{4}+\frac{3^{n+1}.sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}$

Em học cấp 3 àh?

Thử giải tiếp cách của em, dùng L'Hôpital cho n tiến về vô cùng
$$\lim_{n\rightarrow \infty} 3^{n+1}sin(\frac{x}{3^{n-1}})= \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{sin(3^{1-n}x)}{3^{-1-n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-3^{1-n}xln(3)cos(3^{1-n}x)}{-3^{-1-n}ln(3)}=\lim_{n\rightarrow \infty} 9x cos(\frac{x}{3^{n-1}})= 9x$$

Nên
$$S=sin^3x - \frac{3sinx}{4}+\frac{9x}{4}=-\frac{sin3x}{4}+ \frac{9x}{4} $$

Thử cách khác 1 chút
$$4 \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^n sin^3\left ( \frac{x}{3^n} \right )=4 \sum 3^n.\frac{3sin\frac{x}{3^n}-sin\frac{x}{3^{n-1}}}{4}= \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^{n+1}sin\frac{x}{3^n} - \sum_{n \geq 0}^{\infty } 3^n sin\frac{x}{3^{n-1}}= -sin3x$$

Nên
$$S=-\frac{sin3x}{4}$$

Tại sao lại cho 2 kết quả khác nhau? Chờ bạn xusinst giải đáp vậy.