Chủ đề này có 1 trả lời

[minhson95]

chứng minh rằng không thể chia các số từ 1 đến 15 thành hai tập $A$ và $B$ sao cho $/A/=2$ , $/B/=13$ mà tổng các số ở $B$ bằng tích các số ở $A$ ($/A/$ là số phần tử của tập hợp $A$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 25-02-2012 - 16:55

[PSW]

Gọi $(a_1 ; a_2 ; ... ;a_{15})$ là một hoán vị của tập hợp $ \{ 1;2 ; ... ; 15 \}$
Gia sử là tồn tại cách phân hoạch thoả mãn yêu cầu bài toán,

tức là tồn tại $2$ số $a_i ; a_j \ \ 1\le i < j \le 15$ ; sao cho :

$ a_i \cdot a_j = a_1 + a_2+... + a_{i-1}+ a_{i+1}+...+a_{j-1}+ a_{j+1}+...+a_{15}$

$ \implies a_i \cdot a_j + a_i+a_j+1 = a_1+a_2+....+a_{15}+1 $

$ \implies (a_i +1)(a_j +1) = (1+2+...+15)+1 = \frac{15 \cdot 16}{2}+1 = 121$

$ \implies (a_i +1)(a_j +1) = 11^2$

Mà $(a_i +1) ; (a_j +1)$ là những số nguyên dương không bé hơn $2$ . Đồng thời $11$ là số nguyên tố.

Nên ta suy ra $ (a_i +1) = (a_j +1) = 11 \implies a_i=a_j =10$

Điều này vô lý vì $a_i ; a_j $ là $2$ số nguyên dương phân biệt.

Từ đây ta suy ra giả sử ban đầu là sai và không tồn tại cách phân hoạch thoả ycbt ( đpcm)