Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Tiếp tục một bài toán tương đối hay
Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c, d$, ta có :
$$\dfrac{a}{3a^2 + 2b^2 + c^2} + \dfrac{b}{3b^2 + 2c^2 + d^2} + \dfrac{c}{3c^2 + 2d^2 + a^2} + \dfrac{d}{3d^2 + 2a^2 + b^2} \le \dfrac{1}{6}\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \right )$$

[trauvang97]

Tiếp tục một bài toán tương đối hay
Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c, d$, ta có :
$$\dfrac{a}{3a^2 + 2b^2 + c^2} + \dfrac{b}{3b^2 + 2c^2 + d^2} + \dfrac{c}{3c^2 + 2d^2 + a^2} + \dfrac{d}{3d^2 + 2a^2 + b^2} \le \dfrac{1}{6}\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d} \right )$$

 

Ta có: $3a^{2}+2b^{2}+c^{2}=2(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+c^{2})\geq 4ab+2ac$

 

Do đó: $\frac{a}{3a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{1}{4b+2c}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{2c} \right )$

 

Tương tự:  $\frac{b}{3b^{2}+2c^{2}+d^{2}}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{2d} \right )$

 

                   $\frac{c}{3c^{2}+2d^{2}+a^{2}}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{d}+\frac{1}{2a} \right )$

 

                   $\frac{d}{3d^{2}+2a^{2}+b^{2}}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{2b} \right )$

 

Cộng vế với vế bốn bất đẳng thức cùng chiều trên ta có đpcm