$\dfrac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)}} \geq \dfrac{4}{3}$
Edited by minhson95, 28-02-2012 - 20:14.
Edited by minhson95, 28-02-2012 - 20:14.
ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)cho $a, b, c$ là các số dương và abc=8. CMR:
$\dfrac{a^2}{(1+a^3)(1+b^3)}+\dfrac{b^2}{(1+b^3)(1+c^3)}+\dfrac{c^2}{(1+c^3)(1+a^3)} \geq \dfrac{4}{3}$
ta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
áp dụng bất đẳng thức trên suy ra
vế trái $\geq \frac{4a^{2}}{\left ( 2+a^{2} \right )\left ( 2+b^{2} \right )}+\frac{4b^{2}}{\left ( 2+b^{2} \right )\left ( 2+c^{2} \right )}+\frac{4c^{2}}{\left ( 2+c^{2} \right )\left ( 2+a^{2} \right )}$
đặt $x=\frac{a^{2}}{4}; y=\frac{b^{2}}{4}; z=\frac{c^{2}}{4}$ khi đó $xyz=1$
ta phải chứng minh $\frac{x}{\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )}+\frac{y}{\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )}+\frac{z}{\left ( 1+2z \right )\left ( 1+2x \right )}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
áp dụng bdt AM-GM ta chứng minh được $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm
sr bạn nha mình xem sai đềmình không hiểu cách giải này lắm
áp dụng bất đẳng thức trên phải suy ra
vế trái $\geq \dfrac{16a^2}{(a^2+2)^2(b^2+2)^2}+\dfrac{16b^2}{(b^2+2)^2(c^2+2)^2}+\dfrac{16c^2}{(c^2+2)^2(a^2+2)^2}$
chứ
sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình
sr bạn nha mình xem sai đề
mà hình như đề của bạn sai rồi, dưới mẫu có căn ko z? nếu có căn thì làm được theo cách của mình
Edited by minhson95, 28-02-2012 - 20:20.
uhm, đơn giản thôiuh. mình chép nhầm đề.
nhưng mình không hiểu chỗ
áp dụng AM-GM ta CM được
$(1+2x)(1+2y)(1+2z) \geq 3^3$
suy ra $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ (đúng do xyz=1)
=> đpcm
cái này cm kiểu gì vậy bạn? giải thích giúp mình với!
Edited by whiterose96, 28-02-2012 - 22:40.
Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?uhm, đơn giản thôi
áp dụng AM-GM ta có:
$1+2x= 1+x+x \geq 3\sqrt[3]{x^{2}}$
tương tự với 1+2y, 1+2z thì ta có $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}=3$ vì xyz=1
còn chứng minh $2\left ( xy+yz+xz \right )+x+y+z\geq 9$ thì ta áp dụng AM-GM cho 9 số xy, yz, xz, xy, yz, xz, x, y, z và có xyz=1 => đpcm
Edited by Katyusha, 28-02-2012 - 22:38.
vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$Nhưng như thế VT và VP đều lớn hơn 3 nên đâu so sánh được đâu bạn?
Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.vừa rồi mình viết nhầm đúng phải là $\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq 3^{3}$
dùng tính chất bắc cầu
$x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )\geq \frac{1}{3}\times 3^{3}=9$
Edited by huymit_95, 28-02-2012 - 23:05.
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?Hiz Bạn làm gần ra thì lại gặp một lỗi sai, đó là đi sai đường ở đoạn sau.
Phải là
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.
Thực ra, bạn cần chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$$mình k hiểu lắm, bạn có thể nói rõ mình sai như thế nào ko?
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
Thực ra, bạn cần chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$$
Nhưng bạn lại chứng minh $$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq 9$$ Và $$\frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \ge 9$$
Thì cách của bạn whiterose gần hoàn chỉnh rồi, chỉ có ít nhầm lẫn ở BĐT cuối thôi:thế bài này làm kiểu gì hả bạn!
$$\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right ) \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + x + y + z \ge 8xyz + 1$$ $$ \Leftrightarrow 2(xy + yz + zx) + (x + y + z) \ge 9$$
Cái này chỉ cần áp dụng $AM-GM$ thôi.
Cho mình hỏi cách tìm ra bđt này, nếu $abc$ bằng một số khác có ra được bđt đẹp này không, hay đây chỉ là một trường hợp ra đẹpta có $4\left ( 1+x^{3} \right )\leq \left ( x^{2}+2 \right )^{2}$ $\Leftrightarrow x^{2}\left ( x-2 \right )^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
Thì cách của bạn whiterose gần hoàn chỉnh rồi, chỉ có ít nhầm lẫn ở BĐT cuối thôi:
$\Leftrightarrow x\left ( 1+2z \right )+y\left ( 1+2x \right )+z\left ( 1+2y \right )\geq \frac{1}{3}\left ( 1+2x \right )\left ( 1+2y \right )\left ( 1+2z \right )$
BĐT này có thể xử lý theo cách của bạn huymit
Đó là bước khai triển và thu gọn 2 vế thôi bạnmình không hiểu đoạn này mọi người giải thích giùm với
BDT$ \Leftrightarrow2(xy+yz+zx)+x+y+z \geq 8xyz+1$
0 members, 1 guests, 0 anonymous users