Chủ đề này có 4 trả lời

[khoa94]

cho hàm số $y=x^{4}-2x^{2}-3$ có đồ thị $©$
a. Tìm $M$ thuộc $Oy$ sao cho qua $M$ có đúng 3 tiếp tuyến với $(C)$
b. Tìm $M$ thuộc $Oy$ sao cho qua $M$ có đúng 4 tiếp tuyến với $(C)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoa94: 04-03-2012 - 10:38

[Crystal]

cho hàm số $y=x^{4}-2x^{2}-3$ có đồ thị $©$
a. Tìm $M$ thuộc $Oy$ sao cho qua $M$ có đúng 3 tiếp tuyến với $©$
b. Tìm $M$ thuộc $Oy$ sao cho qua $M$ có đúng 4 tiếp tuyến với $©$

Hướng dẫn:

Lấy điểm $M(0;m)$ bất kì thuộc $Oy$

Đường thẳng đi qua $M$ với hệ số góc $k$ có phương trình là $y = kx + m$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi và chỉ khi:

$$\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} - 2{x^2} - 3 = kx + m\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4{x^3} - 4x = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\text{có nghiệm}$$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có: $${x^4} - 2{x^2} - 3 = \left( {4{x^3} - 4x} \right)x + m \Leftrightarrow 3{x^4} - 2{x^2} + 3 + m = 0\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$$
a. Qua $M$ có đúng 3 tiếp tuyến với $\left( C \right)$ khi phương trình $(3)$ có 3 nghiệm phận biệt.

b. Qua $M$ có đúng 4 tiếp tuyến với $\left( C \right)$ khi phương trình $(3)$ có 4 nghiệm phận biệt.

Bạn giải các điều kiện trên để tìm các giá trị của $m$ từ đó suy ra điểm $M$.

[khoa94]

theo tôi không đơn giản như vậy. Có khi hai điểm phân biệt cho 1 tiếp tuyến ( 2 cực tri hoặc cực tiểu chẳng hạn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoa94: 06-03-2012 - 18:09

[khoa94]

theo tôi nên cho pt $(2)$ chỉ có 1 nghiệm, như thế bài toán sẽ tổng quát hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khoa94: 06-03-2012 - 18:10

[vantinyeu]

+ Với đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có duy nhất 1 tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại hai điểm phân biệt, tiếp tuyến đó có hệ số góc k = 0 và tiếp xúc đồ thị tại hai điểm cực trị. Lập luận của bạn xusinst chưa chặt chẽ vì riêng với hàm bậc 4 trùng phương số tiếp tuyến không bằng số tiếp điểm (điều này đúng cho hàm bậc 3, bậc 1/ bậc 1 và bậc 2/ bậc 1). Các bạn làm cần lưu ý.
+ Phần a. chỉ cần lưu ý đồ thị hàm số đối xứng qua Oy, số lượng tiếp tuyến muốn là số lẻ thì phải có tiếp tuyến mà khi đối xứng qua Oy là chính nó, tức là tiếp tuyến có hệ số góc k = 0, nói cách khác hệ tiếp xúc phải có nghiệm k = 0.